logo

الشجرة الثنائية المفهرسة: تحديث النطاق واستعلامات النطاق

نظرا لصفيف arr[0..N-1]. يجب تنفيذ العمليات التالية. 

  1. تحديث (ل ص فال) : أضف "val" إلى جميع العناصر الموجودة في المصفوفة من [l r].
  2. getRangeSum(ل ص) : ابحث عن مجموع جميع العناصر في المصفوفة من [l r].

في البداية، تكون جميع العناصر الموجودة في المصفوفة 0. يمكن أن تكون الاستعلامات بأي ترتيب، أي يمكن أن يكون هناك العديد من التحديثات قبل مجموع النطاق.



مثال:

مدخل: ن = 5   // {0 0 0 0 0}
الاستعلامات: التحديث: ل = 0 ص = 4 فال = 2
               التحديث : ل = 3 ص = 4 فال = 3 
               getRangeSum : ل = 2 ص = 4

الإخراج: مجموع عناصر النطاق [2 4] هو 12
توضيح: يصبح المصفوفة بعد التحديث الأول {2 2 2 2 2}
يصبح المصفوفة بعد التحديث الثاني {2 2 2 5 5}



النهج الساذج: لحل المشكلة اتبع الفكرة التالية:

في المنشور السابق ناقشنا تحديث النطاق وحلول الاستعلام النقطي باستخدام BIT. 
rangeUpdate(l r val): نضيف "val" إلى العنصر الموجود في الفهرس "l". نطرح "val" من العنصر الموجود في الفهرس "r+1". 
getElement(index) [أو getSum()]: نعيد مجموع العناصر من 0 إلى الفهرس الذي يمكن الحصول عليه بسرعة باستخدام BIT.
يمكننا حساب rangeSum() باستخدام استعلامات getSum(). 
rangeSum(l r) = getSum(r) - getSum(l-1)

وظائف في ج

حل بسيط هو استخدام الحلول التي تمت مناقشتها في المنشور السابق . استعلام تحديث النطاق هو نفسه. يمكن تحقيق استعلام مجموع النطاق عن طريق إجراء استعلام الحصول على جميع العناصر الموجودة في النطاق. 



النهج الفعال: لحل المشكلة اتبع الفكرة التالية:

نحصل على مجموع النطاق باستخدام مبالغ البادئة. كيف يمكن التأكد من أن التحديث تم بطريقة يمكن من خلالها إجراء مجموع البادئة بسرعة؟ ضع في اعتبارك موقفًا يكون فيه مجموع البادئة [0 k] (حيث 0<= k < n) is needed after range update on the range [l r]. Three cases arise as k can possibly lie in 3 regions.

  • الحالة 1 : 0< k < l 
    • لن يؤثر استعلام التحديث على استعلام المجموع.
  • الحالة 2 : ل<= k <= r 
    • فكر في مثال:  أضف 2 إلى النطاق [2 4] وستكون المصفوفة الناتجة: 0 0 2 2 2
      إذا كان k = 3 المجموع من [0 k] = 4

كيف تحصل على هذه النتيجة؟ 
ما عليك سوى إضافة val من lذمؤشر إلى كذفِهرِس. يتم زيادة المجموع بمقدار 'val*(k) - val*(l-1)' بعد استعلام التحديث. 

  • الحالة 3 : ك > ص 
    • في هذه الحالة نحتاج إلى إضافة "val" من lذمؤشر إلى صذفِهرِس. يتم زيادة المجموع بمقدار 'val*r – val*(l-1)' بسبب استعلام التحديث.

الملاحظات:  

الحالة 1: الأمر بسيط حيث سيظل المبلغ كما كان قبل التحديث.

الحالة 2: تمت زيادة المبلغ بمقدار val*k - val*(l-1). يمكننا العثور على "val" وهو مشابه للعثور على iذعنصر في تحديث النطاق ومقالة استعلام النقطة . لذلك نحتفظ بت واحدة لتحديث النطاق واستعلامات النقاط، وستكون هذه البتة مفيدة في العثور على القيمة عند kذفِهرِس. الآن يتم حساب val * k كيفية التعامل مع المصطلح الإضافي val * (l-1)؟ 
ومن أجل التعامل مع هذا المصطلح الإضافي، نحتفظ بمعاهدة ثنائية أخرى (BIT2). تحديث val * (l-1) عند lذفهرس لذلك عند تنفيذ استعلام getSum على BIT2 سيعطي النتيجة كـ val*(l-1).

الحالة 3: تمت زيادة المبلغ في الحالة 3 بواسطة 'val*r - val *(l-1)' ويمكن الحصول على قيمة هذا المصطلح باستخدام BIT2. بدلاً من الإضافة، نطرح 'val*(l-1) - val*r' حيث يمكننا الحصول على هذه القيمة من BIT2 عن طريق إضافة val*(l-1) كما فعلنا في الحالة 2 وطرح val*r في كل عملية تحديث.

تحديث الاستعلام 

تحديث (BITree1 لتر فال)
تحديث(BITree1 r+1 -val)
UpdateBIT2(BITree2 l val*(l-1))
UpdateBIT2(BITree2 r+1 -val*r)

مجموع النطاق 

تبديل برمجة جافا

getSum(BITTree1 ك) *ك) - getSum(BITTree2 ك)

اتبع الخطوات التالية لحل المشكلة:

  • قم بإنشاء شجرتي الفهرس الثنائي باستخدام الوظيفة المحددة buildBITree()
  • للعثور على المجموع في نطاق معين، قم باستدعاء الدالة rangeSum() مع المعلمات مثل النطاق المحدد والأشجار المفهرسة الثنائية
    • استدعاء مجموع الدالة الذي سيرجع مجموعًا في النطاق [0 X]
    • مجموع الإرجاع(R) - المجموع(L-1)
      • داخل هذه الوظيفة، قم باستدعاء الدالة getSum() والتي ستعيد مجموع المصفوفة من [0 X]
      • إرجاع getSum(Tree1 x) * x - getSum(tree2 x)
      • داخل الدالة getSum()، أنشئ مجموعًا صحيحًا يساوي الصفر وقم بزيادة الفهرس بمقدار 1
      • عندما يكون الفهرس أكبر من الصفر، قم بزيادة المجموع بواسطة Tree[index]
      • قم بتقليل الفهرس بمقدار (index & (-index)) لنقل الفهرس إلى العقدة الأصلية في الشجرة
      • مبلغ الإرجاع
  • اطبع المبلغ في النطاق المحدد

وفيما يلي تنفيذ النهج المذكور أعلاه: 

C++
// C++ program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT #include    using namespace std; // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] int getSum(int BITree[] int index) {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. void updateBIT(int BITree[] int n int index int val) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[]) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[] int n  int val int l int r) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } int rangeSum(int l int r int BITTree1[] int BITTree2[]) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } int* constructBITree(int n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  int* BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree; } // Driver code int main() {  int n = 5;  // Construct two BIT  int *BITTree1 *BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2 r = 4 val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1 r = 4;  cout << 'Sum of elements from [' << l << '' << r  << '] is ';  cout << rangeSum(l r BITTree1 BITTree2) << 'n';  return 0; } 
Java
// Java program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT import java.util.*; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int BITree[] int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int BITree[] int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than the index in  // arr[]  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int BITTree1[] int BITTree2[])  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int BITTree1[] int BITTree2[]  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int BITTree1[]  int BITTree2[])  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Program to test above function  public static void main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  System.out.print('Sum of elements from [' + l + ''  + r + '] is ');  System.out.print(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar 
Python3
# Python3 program to demonstrate Range Update # and Range Queries using BIT # Returns sum of arr[0..index]. This function assumes # that the array is preprocessed and partial sums of # array elements are stored in BITree[] def getSum(BITree: list index: int) -> int: summ = 0 # Initialize result # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse ancestors of BITree[index] while index > 0: # Add current element of BITree to sum summ += BITree[index] # Move index to parent node in getSum View index -= index & (-index) return summ # Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given # index in BITree. The given value 'val' is added to # BITree[i] and all of its ancestors in tree. def updateBit(BITTree: list n: int index: int val: int) -> None: # index in BITree[] is 1 more than the index in arr[] index = index + 1 # Traverse all ancestors and add 'val' while index <= n: # Add 'val' to current node of BI Tree BITTree[index] += val # Update index to that of parent in update View index += index & (-index) # Returns the sum of array from [0 x] def summation(x: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x) def updateRange(BITTree1: list BITTree2: list n: int val: int l: int r: int) -> None: # Update Both the Binary Index Trees # As discussed in the article # Update BIT1 updateBit(BITTree1 n l val) updateBit(BITTree1 n r + 1 -val) # Update BIT2 updateBit(BITTree2 n l val * (l - 1)) updateBit(BITTree2 n r + 1 -val * r) def rangeSum(l: int r: int BITTree1: list BITTree2: list) -> int: # Find sum from [0r] then subtract sum # from [0l-1] in order to find sum from # [lr] return summation(r BITTree1 BITTree2) - summation( l - 1 BITTree1 BITTree2) # Driver Code if __name__ == '__main__': n = 5 # BIT1 to get element at any index # in the array BITTree1 = [0] * (n + 1) # BIT 2 maintains the extra term # which needs to be subtracted BITTree2 = [0] * (n + 1) # Add 5 to all the elements from [04] l = 0 r = 4 val = 5 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Add 10 to all the elements from [24] l = 2 r = 4 val = 10 updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r) # Find sum of all the elements from # [14] l = 1 r = 4 print('Sum of elements from [%d%d] is %d' % (l r rangeSum(l r BITTree1 BITTree2))) # This code is contributed by # sanjeev2552 
C#
// C# program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT using System; class GFG {  // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes  // that the array is preprocessed and partial sums of  // array elements are stored in BITree[]  static int getSum(int[] BITree int index)  {  int sum = 0; // Initialize result  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0) {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];  // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum;  }  // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given  // index in BITree. The given value 'val' is added to  // BITree[i] and all of its ancestors in tree.  static void updateBIT(int[] BITree int n int index  int val)  {  // index in BITree[] is 1 more than  // the index in []arr  index = index + 1;  // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n) {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;  // Update index to that of  // parent in update View  index += index & (-index);  }  }  // Returns the sum of array from [0 x]  static int sum(int x int[] BITTree1 int[] BITTree2)  {  return (getSum(BITTree1 x) * x)  - getSum(BITTree2 x);  }  static void updateRange(int[] BITTree1 int[] BITTree2  int n int val int l int r)  {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article  // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);  // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r);  }  static int rangeSum(int l int r int[] BITTree1  int[] BITTree2)  {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2)  - sum(l - 1 BITTree1 BITTree2);  }  static int[] constructBITree(int n)  {  // Create and initialize BITree[] as 0  int[] BITree = new int[n + 1];  for (int i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;  return BITree;  }  // Driver Code  public static void Main(String[] args)  {  int n = 5;  // Contwo BIT  int[] BITTree1;  int[] BITTree2;  // BIT1 to get element at any index  // in the array  BITTree1 = constructBITree(n);  // BIT 2 maintains the extra term  // which needs to be subtracted  BITTree2 = constructBITree(n);  // Add 5 to all the elements from [04]  int l = 0 r = 4 val = 5;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Add 10 to all the elements from [24]  l = 2;  r = 4;  val = 10;  updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r);  // Find sum of all the elements from  // [14]  l = 1;  r = 4;  Console.Write('Sum of elements from [' + l + '' + r  + '] is ');  Console.Write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)  + 'n');  } } // This code is contributed by 29AjayKumar 
JavaScript
<script> // JavaScript program to demonstrate Range Update // and Range Queries using BIT // Returns sum of arr[0..index]. This function assumes // that the array is preprocessed and partial sums of // array elements are stored in BITree[] function getSum(BITreeindex) {  let sum = 0; // Initialize result    // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse ancestors of BITree[index]  while (index > 0)  {  // Add current element of BITree to sum  sum += BITree[index];    // Move index to parent node in getSum View  index -= index & (-index);  }  return sum; } // Updates a node in Binary Index Tree (BITree) at given // index in BITree. The given value 'val' is added to // BITree[i] and all of its ancestors in tree. function updateBIT(BITreenindexval) {  // index in BITree[] is 1 more than the index in arr[]  index = index + 1;    // Traverse all ancestors and add 'val'  while (index <= n)  {  // Add 'val' to current node of BI Tree  BITree[index] += val;    // Update index to that of parent in update View  index += index & (-index);  } } // Returns the sum of array from [0 x] function sum(xBITTree1BITTree2) {  return (getSum(BITTree1 x) * x) - getSum(BITTree2 x); } function updateRange(BITTree1BITTree2nvallr) {  // Update Both the Binary Index Trees  // As discussed in the article    // Update BIT1  updateBIT(BITTree1 n l val);  updateBIT(BITTree1 n r + 1 -val);    // Update BIT2  updateBIT(BITTree2 n l val * (l - 1));  updateBIT(BITTree2 n r + 1 -val * r); } function rangeSum(lrBITTree1BITTree2) {  // Find sum from [0r] then subtract sum  // from [0l-1] in order to find sum from  // [lr]  return sum(r BITTree1 BITTree2) -  sum(l - 1 BITTree1 BITTree2); } function constructBITree(n) {  // Create and initialize BITree[] as 0  let BITree = new Array(n + 1);  for (let i = 1; i <= n; i++)  BITree[i] = 0;    return BITree; } // Driver Program to test above function let n = 5;   // Contwo BIT let BITTree1; let BITTree2; // BIT1 to get element at any index // in the array BITTree1 = constructBITree(n); // BIT 2 maintains the extra term // which needs to be subtracted BITTree2 = constructBITree(n); // Add 5 to all the elements from [04] let l = 0  r = 4  val = 5; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Add 10 to all the elements from [24] l = 2 ; r = 4 ; val = 10; updateRange(BITTree1 BITTree2 n val l r); // Find sum of all the elements from // [14] l = 1 ; r = 4; document.write('Sum of elements from [' + l  + '' + r+ '] is '); document.write(rangeSum(l r BITTree1 BITTree2)+ '  
'
); // This code is contributed by rag2127 </script>

الإخراج
Sum of elements from [14] is 50

تعقيد الوقت : O(q * log(N)) حيث q هو عدد الاستعلامات.
المساحة المساعدة: على)