بالنظر إلى رقمين صحيحين، فإن المهمة هي العثور على عدد جميع المقسومات المشتركة لأرقام معينة؟
أمثلة :
Input : a = 12 b = 24 Output: 6 // all common divisors are 1 2 3 // 4 6 and 12 Input : a = 3 b = 17 Output: 1 // all common divisors are 1 Input : a = 20 b = 36 Output: 3 // all common divisors are 1 2 4Recommended Practice المقسومات المشتركة جربه!
فمن المستحسن الرجوع جميع المقسومات على عدد معين كشرط أساسي لهذه المادة.
حل ساذج
الحل البسيط هو العثور أولاً على جميع مقسومات الرقم الأول وتخزينها في مصفوفة أو تجزئة. ثم ابحث عن القواسم المشتركة للرقم الثاني وقم بتخزينها. أخيرًا قم بطباعة العناصر المشتركة لمصفوفتين أو تجزئة مخزنتين. المفتاح هو أن حجم قوى العوامل الأولية للمقسوم عليه يجب أن يكون مساوياً للحد الأدنى من قوة عاملين رئيسيين لـ a وb.
- العثور على العوامل الرئيسية للاستخدام التخصيم الأولي .
- أوجد عدد كل عامل أولي أ وتخزينها في Hashmap.
- العامل الأولي ب باستخدام العوامل الأولية المميزة ل أ .
- ومن ثم فإن إجمالي عدد المقسومات سيكون مساوياً لمنتج (العد + 1)
من كل عامل. - هذا يعطي عدد جميع المقسومات أ و ب . C++
// C++ implementation of program #include using namespace std; // Map to store the count of each // prime factor of a map<int int> ma; // Function that calculate the count of // each prime factor of a number void primeFactorize(int a) { for(int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma[i] = cnt; } if (a > 1) { ma[a] = 1; } } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a for(auto m = ma.begin(); m != ma.end(); m++) { int cnt = 0; int key = m->first; int value = m->second; while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver code int main() { int a = 12 b = 24; cout << commDiv(a b) << endl; return 0; } // This code is contributed by divyeshrabadiya07
Java // Java implementation of program import java.util.*; import java.io.*; class GFG { // map to store the count of each prime factor of a static HashMap<Integer Integer> ma = new HashMap<>(); // method that calculate the count of // each prime factor of a number static void primeFactorize(int a) { for (int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma.put(i cnt); } if (a > 1) ma.put(a 1); } // method to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors of b using // distinct prime factors of a for (Map.Entry<Integer Integer> m : ma.entrySet()) { int cnt = 0; int key = m.getKey(); int value = m.getValue(); while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver method public static void main(String args[]) { int a = 12 b = 24; System.out.println(commDiv(a b)); } }
Python3 # Python3 implementation of program import math # Map to store the count of each # prime factor of a ma = {} # Function that calculate the count of # each prime factor of a number def primeFactorize(a): sqt = int(math.sqrt(a)) for i in range(2 sqt 2): cnt = 0 while (a % i == 0): cnt += 1 a /= i ma[i] = cnt if (a > 1): ma[a] = 1 # Function to calculate all common # divisors of two given numbers # a b --> input integer numbers def commDiv(a b): # Find count of each prime factor of a primeFactorize(a) # stores number of common divisors res = 1 # Find the count of prime factors # of b using distinct prime factors of a for key value in ma.items(): cnt = 0 while (b % key == 0): b /= key cnt += 1 # Prime factor of common divisor # has minimum cnt of both a and b res *= (min(cnt value) + 1) return res # Driver code a = 12 b = 24 print(commDiv(a b)) # This code is contributed by Stream_Cipher
C# // C# implementation of program using System; using System.Collections.Generic; class GFG{ // Map to store the count of each // prime factor of a static Dictionary<int int> ma = new Dictionary<int int>(); // Function that calculate the count of // each prime factor of a number static void primeFactorize(int a) { for(int i = 2; i * i <= a; i += 2) { int cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a /= i; } ma.Add(i cnt); } if (a > 1) ma.Add(a 1); } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // Stores number of common divisors int res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a foreach(KeyValuePair<int int> m in ma) { int cnt = 0; int key = m.Key; int value = m.Value; while (b % key == 0) { b /= key; cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.Min(cnt value) + 1); } return res; } // Driver code static void Main() { int a = 12 b = 24; Console.WriteLine(commDiv(a b)); } } // This code is contributed by divyesh072019
JavaScript <script> // JavaScript implementation of program // Map to store the count of each // prime factor of a let ma = new Map(); // Function that calculate the count of // each prime factor of a number function primeFactorize(a) { for(let i = 2; i * i <= a; i += 2) { let cnt = 0; while (a % i == 0) { cnt++; a = parseInt(a / i 10); } ma.set(i cnt); } if (a > 1) { ma.set(a 1); } } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv(ab) { // Find count of each prime factor of a primeFactorize(a); // stores number of common divisors let res = 1; // Find the count of prime factors // of b using distinct prime factors of a ma.forEach((valueskeys)=>{ let cnt = 0; let key = keys; let value = values; while (b % key == 0) { b = parseInt(b / key 10); cnt++; } // Prime factor of common divisor // has minimum cnt of both a and b res *= (Math.min(cnt value) + 1); }) return res; } // Driver code let a = 12 b = 24; document.write(commDiv(a b)); </script>
الإخراج:
6
تعقيد الوقت : O(؟ن سجل ن)
المساحة المساعدة: على)
حل فعال -
الحل الأفضل هو حساب القاسم المشترك الأكبر (gcd) من رقمين معينين ثم قم بحساب المقسومات على ذلك gcd.
// C++ implementation of program #include using namespace std; // Function to calculate gcd of two numbers int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // Function to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver program to run the case int main() { int a = 12 b = 24; cout << commDiv(a b); return 0; }
Java // Java implementation of program class Test { // method to calculate gcd of two numbers static int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // method to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver method public static void main(String args[]) { int a = 12 b = 24; System.out.println(commDiv(a b)); } }
Python3 # Python implementation of program from math import sqrt # Function to calculate gcd of two numbers def gcd(a b): if a == 0: return b return gcd(b % a a) # Function to calculate all common divisors # of two given numbers # a b --> input integer numbers def commDiv(a b): # find GCD of a b n = gcd(a b) # Count divisors of n result = 0 for i in range(1int(sqrt(n))+1): # if i is a factor of n if n % i == 0: # check if divisors are equal if n/i == i: result += 1 else: result += 2 return result # Driver program to run the case if __name__ == '__main__': a = 12 b = 24; print(commDiv(a b))
C# // C# implementation of program using System; class GFG { // method to calculate gcd // of two numbers static int gcd(int a int b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // method to calculate all // common divisors of two // given numbers a b --> // input integer numbers static int commDiv(int a int b) { // find gcd of a b int n = gcd(a b); // Count divisors of n. int result = 0; for (int i = 1; i <= Math.Sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } // Driver method public static void Main(String[] args) { int a = 12 b = 24; Console.Write(commDiv(a b)); } } // This code contributed by parashar.
PHP // PHP implementation of program // Function to calculate // gcd of two numbers function gcd($a $b) { if ($a == 0) return $b; return gcd($b % $a $a); } // Function to calculate all common // divisors of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv($a $b) { // find gcd of a b $n = gcd($a $b); // Count divisors of n. $result = 0; for ($i = 1; $i <= sqrt($n); $i++) { // if 'i' is factor of n if ($n % $i == 0) { // check if divisors // are equal if ($n / $i == $i) $result += 1; else $result += 2; } } return $result; } // Driver Code $a = 12; $b = 24; echo(commDiv($a $b)); // This code is contributed by Ajit. ?> JavaScript <script> // Javascript implementation of program // Function to calculate gcd of two numbers function gcd(a b) { if (a == 0) return b; return gcd(b % a a); } // Function to calculate all common divisors // of two given numbers // a b --> input integer numbers function commDiv(a b) { // find gcd of a b let n = gcd(a b); // Count divisors of n. let result = 0; for (let i = 1; i <= Math.sqrt(n); i++) { // if 'i' is factor of n if (n % i == 0) { // check if divisors are equal if (n / i == i) result += 1; else result += 2; } } return result; } let a = 12 b = 24; document.write(commDiv(a b)); </script>
الإخراج :
6
تعقيد الوقت: على1/2) حيث n هو gcd لعددين.
المساحة المساعدة: يا(1)
نهج آخر:
1. حدد دالة "gcd" التي تأخذ عددين صحيحين "a" و"b" وترجع القاسم المشترك الأكبر لهما (GCD) باستخدام الخوارزمية الإقليدية.
2. حدد دالة "count_common_divisors" التي تأخذ عددين صحيحين "a" و"b" وتحسب عدد المقسومات المشتركة لـ "a" و"b" باستخدام GCD الخاص بها.
3. احسب GCD لـ "a" و"b" باستخدام الدالة "gcd".
4. قم بتهيئة "العد" للعداد إلى 0.
5. قم بالتمرير عبر جميع المقسومات المحتملة لـ GCD لـ "a" و"b" من 1 إلى الجذر التربيعي لـ GCD.
6. إذا قام المقسوم عليه الحالي بتقسيم GCD بالتساوي، قم بزيادة العداد بمقدار 2 (لأن كلا من 'a' و'b' قابلان للقسمة على المقسوم عليه).
7. إذا كان مربع المقسوم عليه الحالي يساوي GCD، قم بتخفيض العداد بمقدار 1 (لأننا قمنا بالفعل بعد هذا المقسوم عليه مرة واحدة).
8. قم بإرجاع العدد النهائي للقسومات المشتركة.
9. في الوظيفة الرئيسية، حدد عددين صحيحين 'a' و'b' واستدعاء وظيفة 'count_common_divisors' بهذه الأعداد الصحيحة.
10. اطبع عدد المقسومات المشتركة لـ "a" و"b" باستخدام الدالة printf.
#include int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } int count_common_divisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } int main() { int a = 12; int b = 18; int common_divisors = count_common_divisors(a b); printf('The number of common divisors of %d and %d is %d.n' a b common_divisors); return 0; }
C++ #include using namespace std; int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } int count_common_divisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } int main() { int a = 12; int b = 18; int common_divisors = count_common_divisors(a b); cout<<'The number of common divisors of '<<a<<' and '<<b<<' is '<<common_divisors<<'.'<<endl; return 0; }
Java import java.util.*; public class Main { public static int gcd(int a int b) { if(b == 0) { return a; } return gcd(b a % b); } public static int countCommonDivisors(int a int b) { int gcd_ab = gcd(a b); int count = 0; for(int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i == 0) { count += 2; if(i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } public static void main(String[] args) { int a = 12; int b = 18; int commonDivisors = countCommonDivisors(a b); System.out.println('The number of common divisors of ' + a + ' and ' + b + ' is ' + commonDivisors + '.'); } }
Python3 import math def gcd(a b): if b == 0: return a return gcd(b a % b) def count_common_divisors(a b): gcd_ab = gcd(a b) count = 0 for i in range(1 int(math.sqrt(gcd_ab)) + 1): if gcd_ab % i == 0: count += 2 if i * i == gcd_ab: count -= 1 return count a = 12 b = 18 common_divisors = count_common_divisors(a b) print('The number of common divisors of' a 'and' b 'is' common_divisors '.') # This code is contributed by Prajwal Kandekar
C# using System; public class MainClass { public static int GCD(int a int b) { if (b == 0) { return a; } return GCD(b a % b); } public static int CountCommonDivisors(int a int b) { int gcd_ab = GCD(a b); int count = 0; for (int i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if (gcd_ab % i == 0) { count += 2; if (i * i == gcd_ab) { count--; } } } return count; } public static void Main() { int a = 12; int b = 18; int commonDivisors = CountCommonDivisors(a b); Console.WriteLine('The number of common divisors of {0} and {1} is {2}.' a b commonDivisors); } }
JavaScript // Function to calculate the greatest common divisor of // two integers a and b using the Euclidean algorithm function gcd(a b) { if(b === 0) { return a; } return gcd(b a % b); } // Function to count the number of common divisors of two integers a and b function count_common_divisors(a b) { let gcd_ab = gcd(a b); let count = 0; for(let i = 1; i * i <= gcd_ab; i++) { if(gcd_ab % i === 0) { count += 2; if(i * i === gcd_ab) { count--; } } } return count; } let a = 12; let b = 18; let common_divisors = count_common_divisors(a b); console.log(`The number of common divisors of ${a} and ${b} is ${common_divisors}.`);
الإخراج
The number of common divisors of 12 and 18 is 4.
التعقيد الزمني للدالة gcd() هو O(log(min(a b))) لأنها تستخدم خوارزمية إقليدس التي تستغرق وقتًا لوغاريتميًا فيما يتعلق بالرقم الأصغر.
التعقيد الزمني للدالة count_common_divisors() هو O(sqrt(gcd(a b))) حيث يتكرر حتى الجذر التربيعي لـ gcd للرقمين.
التعقيد المكاني لكلتا الوظيفتين هو O(1) حيث أنهما يستخدمان فقط مقدارًا ثابتًا من الذاكرة بغض النظر عن حجم الإدخال.