لنفترض أن هناك صيغتين، X وY. ستُعرف هذه الصيغ بالتكافؤ إذا كانت X ↔ Y عبارة عن حشو. إذا كانت الصيغتان X ↔ Y عبارة عن حشو، فيمكننا أيضًا كتابتها كـ X ⇔ Y، ويمكننا قراءة هذه العلاقة لأن X تعادل Y.

ملاحظة: هناك بعض النقاط التي يجب أن نأخذها في الاعتبار عند التكافؤ الخطي للصيغة، والتي نوضحها على النحو التالي:

• ⇔ يستخدم للإشارة إلى الرمز فقط، ولكنه غير متصل.
• ستكون قيمة الحقيقة لـ X وY متساوية دائمًا إذا كانت X ↔ Y عبارة عن حشو.
• تحتوي علاقة التكافؤ على خاصيتين، أي متماثلة ومتعدية.

الطريقة الأولى: طريقة جدول الحقيقة:

في هذه الطريقة، سنقوم ببناء جداول الحقيقة لأي صيغة ذات عبارة ثنائية ثم نتحقق مما إذا كانت هذه العبارات متكافئة.

مثال 1: في هذا المثال، علينا إثبات X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

حل: يتم وصف جدول الحقيقة لـ X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y) على النحو التالي:

كما يمكننا أن نرى أن X ∨ Y و ¬(¬X ∧ ¬Y) عبارة عن حشو. وبالتالي X ∨ Y ⇔ ¬(¬X ∧ ¬Y).

مثال 2: في هذا المثال، علينا إثبات (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y).

حل: يتم وصف جدول الحقيقة لـ (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) على النحو التالي:

كما يمكننا أن نرى أن X → Y و (¬X ∨ Y) عبارة عن حشو. وبالتالي (X → Y) ⇔ (¬X ∨ Y)

صيغة التكافؤ:

هناك قوانين مختلفة تستخدم لإثبات صيغة التكافؤ، والتي نوضحها على النحو التالي:

القانون العاجز: إذا كانت هناك صيغة بيان واحدة، فستحتوي على الخصائص التالية:

 X ∨ X ⇔ X X ∧ X ⇔ X 

القانون الترابطي: إذا كانت هناك ثلاث صيغ بيان، فستحتوي على الخصائص التالية:

 (X ∨ Y) ∨ Z ⇔ X ∨ (Y ∨ Z) (X ∧ Y) ∧ Z ⇔ X ∧ (Y ∧ Z) 

القانون تبادلي: إذا كانت هناك صيغتان للبيان، فستحتوي على الخصائص التالية:

 X ∨ Y ⇔ Y ∨ X X ∧ Y ⇔ Y ∧ X 

قانون التوزيع: إذا كانت هناك ثلاث صيغ بيان، فستحتوي على الخصائص التالية:

سايرا بانو الممثل

 X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) X ∧ (Y ∨ Z) ⇔ (X ∧ Y) ∨ (X ∧ Z) 

قانون الهوية: إذا كانت هناك صيغة بيان واحدة، فستحتوي على الخصائص التالية:

 (a) (i) X ∨ F ⇔ X (ii) X ∨ T ⇔ T (b) (i) X ∧ T ⇔ X (ii) X ∧ F ⇔ F 

القانون المكمل: إذا كانت هناك صيغة بيان واحدة، فستحتوي على الخصائص التالية:

 (a) (i) X ∨ ¬X ⇔ T (ii) X ∧ ¬X ⇔ F (b) (i) ¬(¬X) ⇔ X (ii) ¬T ⇔ F , ¬F ⇔ T 

قانون الامتصاص: إذا كانت هناك صيغتان للبيان، فستحتوي على الخصائص التالية:

 X ∨ (X ∧ Y) ⇔ X X ∧ (X ∨ Y) ⇔ X 

من قانون مورغان : إذا كانت هناك صيغتان للبيان، فستحتوي على الخصائص التالية:

 ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y ¬(X ∧ Y) ⇔ ¬X ∨ ¬Y 

الطريقة الثانية: عملية الاستبدال

في هذه الطريقة، سنفترض الصيغة A : X → (Y → Z). يمكن معرفة الصيغة Y → Z كجزء من الصيغة. إذا استبدلنا هذا الجزء من الصيغة، أي Y → Z، بمساعدة صيغة التكافؤ ¬Y ∨ Z في A، فسنحصل على صيغة أخرى، أي B : X → (¬Y ∨ Z). إنها عملية سهلة للتحقق مما إذا كانت الصيغتان A وB المعطاتان متكافئتان أم لا. وبمساعدة عملية الاستبدال، يمكننا الحصول على B من A.

مثال 1: في هذا المثال، علينا أن نثبت أن {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z.

حل: هنا، سنأخذ الجزء الأيسر ونحاول الحصول على الجزء الأيمن.

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) [∵ Y → Z ⇔ ¬Y ∨ Z] ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

الآن سوف نستخدم القانون النقابي مثل هذا:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ Z 

الآن سوف نستخدم قانون دي مورغان مثل هذا:

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Y) → Z [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

ومن هنا ثبت

 {X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z)} ⇔ (X ∧ Y) → Z 

مثال 2: في هذا المثال، علينا أن نثبت أن {(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y.

حل: هنا، سنأخذ الجزء الأيسر ونحاول الحصول على الجزء الأيمن.

 (X→ Y) ∧ (Z → Y) ⇔ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Z ∨ Y) ⇔ (¬X ∧ ¬Z) ∨ Y ⇔ ¬(X ∨ Z) ∨ Y ⇔ X ∨ Z → Y 

ومن هنا ثبت

{(X → Y) ∧ (Z → Y)} ⇔ (X ∨ Z) ​​→ Y

مثال 3: في هذا المثال، علينا أن نثبت أن X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y).

حل: هنا، سنأخذ الجزء الأيسر ونحاول الحصول على الجزء الأيمن.

 X → (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (Y → X) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ X) ⇔ (¬X ∨ X) ∨ ¬Y ⇔ T ∨ ¬Y ⇔ T and ¬X → (X → Y) ⇔ ¬(¬X) ∨ (X → Y) ⇔ X ∨ (¬X ∨ Y) ⇔ (X ∨ ¬X) ∨ Y ⇔ T ∨ Y ⇔ T 

ومن هنا ثبت

 X → (Y → X) ⇔ ¬X → (X → Y) 

مثال 4: في هذا المثال، علينا إثبات أن (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) ⇔ Z.

حل: هنا، سنأخذ الجزء الأيسر ونحاول الحصول على الجزء الأيمن.

 (¬X ∧ (¬Y ∧ Z)) ∨ (Y ∧ Z) ∨ (X ∧ Z) 

الآن سوف نستخدم قوانين الترابط والتوزيع مثل هذا:

 ⇔ ((¬X ∧ ¬Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

الآن سوف نستخدم قانون دي مورغان مثل هذا:

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∧ Z) ∨ ((Y ∨ X) ∧ Z) 

الآن سوف نستخدم قانون التوزيع مثل هذا:

استدعاء وظيفة js من HTML

 ⇔ (¬(X ∨ Y) ∨ (X ∨ Y)) ∧ Z ⇔ T ∧ Z [∵ ¬X ∨ X ⇔ T ⇔ R 

ومن هنا ثبت

 (¬P ∧ (¬Q ∧ R)) ∨ (Q ∧ R) ∨ (P ∧ R) ⇔ R 

مثال 5: في هذا المثال، علينا أن نوضح أن ((X ∨Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) هو حشو.

حل: هنا، سوف نأخذ أجزاء صغيرة ونحلها.

أولاً سنستخدم قانون دي مورجان ونحصل على ما يلي:

 ¬X ∧ ¬Y ⇔ ¬(X ∨ Y) ¬X ∨ ¬Z ⇔ ¬(X ∧ Z) 

لذلك،

 (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ ¬(X ∨ Y) ∨ ¬(X ∧ Z) ⇔ ¬((X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)) 

أيضًا

 ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z)) ⇔ ¬(¬X ∧ ¬(Y ∧ Z)) ⇔ X ∨ (Y ∧ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

لذلك

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) ⇔ (X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z) 

هكذا

 ((X ∨ Y) ∧ ¬(¬X ∧ (¬Y ∨ ¬Z))) ∨ (¬X ∧ ¬Y) ∨ (¬X ∧ ¬Z) ⇔ [(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] ∨ ¬[(X ∨ Y) ∧ (X ∨ Z)] [∵ ¬X ∨ X ⇔ T] ⇔ T 

ومن ثم يمكننا القول أن الصيغة المعطاة هي حشو.

مثال 6: في هذا المثال، علينا أن نوضح أن (X ∧ Y) → (X ∨ Y) عبارة عن حشو.

حل: (X ∧ Y) → (X ∨ Y)

 ⇔ ¬(X ∧ Y) ∨ (X ∨ Y) [∵ X → Y ⇔ ¬X ∨ Y] 

الآن سوف نستخدم قانون دي مورغان مثل هذا:

 ⇔ (¬X ∨ ¬Y) ∨ (X ∨ Y) 

الآن سوف نستخدم القانون النقابي والقانون التبادلي مثل هذا:

 ⇔ (¬X ∨ X) ∨ (¬Y ∨ Y) 

الآن سوف نستخدم قانون النفي مثل هذا:

 ⇔ (T ∨ T) ⇔ T 

ومن ثم يمكننا القول أن الصيغة المعطاة هي حشو.

مثال 7: في هذا المثال علينا أن نكتب نفي بعض العبارات، والتي نوضحها على النحو التالي:

1. سوف تكمل ماري تعليمها أو تقبل خطاب الانضمام لشركة XYZ.
2. سوف يذهب هاري في نزهة أو يركض غدًا.
3. إذا حصلت على علامات جيدة، ابن عمي سوف يشعر بالغيرة.

حل: أولا، سوف نقوم بحل العبارة الأولى مثل هذا:

1. لنفترض X: الزواج سيكمل تعليمه.

Y: اقبل خطاب الانضمام لشركة XYZ.

ويمكننا استخدام الصيغة الرمزية التالية للتعبير عن هذه العبارة:

 X ∨ Y 

يتم وصف نفي X ∨ Y على النحو التالي:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

وفي الختام فإن نفي هذا القول يكون:

 ¬X ∧ ¬Y: Marry will not complete her education, and she will not accept the joining letter of XYZ Company. 

2. لنفترض X: هاري سوف يذهب في جولة

Y: هاري سوف يعمل غدا

ويمكننا استخدام الصيغة الرمزية التالية للتعبير عن هذه العبارة:

 X ∨ Y 

يتم وصف نفي X ∨ Y على النحو التالي:

 ¬(X ∨ Y) ¬(X ∨ Y) ⇔ ¬X ∧ ¬Y 

وفي الختام فإن نفي هذا القول يكون:

 ¬X ∧ ¬Y: Harry will not go for a ride, and he will not run tomorrow 

3. لنفترض X: إذا حصلت على علامات جيدة.

Y: ابن عمي سوف يكون غيور.

ويمكننا استخدام الصيغة الرمزية التالية للتعبير عن هذه العبارة:

 X → Y 

يتم وصف نفي X → Y على النحو التالي:

 ¬(X → Y) ¬(X → Y) ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ⇔ X ∧ ¬Y. 

وفي الختام فإن نفي هذا القول يكون:

 X ∧ ¬Y: I get good marks, and my cousin will not be jealous. 

مثال 8: في هذا المثال، علينا كتابة نفي بعض العبارات بمساعدة قانون دي مورغان. يتم وصف هذه التصريحات على النحو التالي:

1. أحتاج إلى طقم ألماس ويستحق خاتمًا ذهبيًا.
2. تحصل على وظيفة جيدة وإلا فلن تحصل على شريك جيد.
3. أتحمل الكثير من العمل ولا أستطيع التعامل معه.
4. يذهب كلبي في رحلة أو يحدث فوضى في المنزل.

حل: يتم وصف نفي جميع العبارات بمساعدة قانون دي مورغان واحدًا تلو الآخر على النحو التالي:

1. لا أحتاج إلى طقم ألماس أو لا يساوي خاتمًا ذهبيًا.
2. لا يمكنك الحصول على وظيفة جيدة، وسوف تحصل على شريك جيد.
3. لا أتحمل الكثير من العمل أو أستطيع التعامل معه.
4. كلبي لا يذهب في رحلة ولا يسبب فوضى في المنزل.

مثال 9: في هذا المثال، لدينا بعض العبارات، وعلينا أن نكتب نفي تلك العبارات. ووصفت التصريحات على النحو التالي:

1. إذا هطل المطر، فسيتم إلغاء خطة الذهاب إلى الشاطئ.
2. إذا درست بجد، فسأحصل على علامات جيدة في الامتحان.
3. إذا ذهبت إلى حفلة في وقت متأخر من الليل، فسوف أعاقب والدي.
4. إذا كنت لا تريد التحدث معي، فعليك حظر رقمي.

حل: ويرد نفي جميع الأقوال واحدا تلو الآخر على النحو التالي:

1. إذا تم إلغاء خطة الذهاب إلى الشاطئ، فهذا يعني أن السماء تمطر.
2. إذا حصلت على علامات جيدة في الامتحان، فأنا أدرس بجد.
3. إذا كنت سأعاقب والدي، فسأذهب إلى حفلة في وقت متأخر من الليل.
4. إذا كان عليك حظر رقمي، فأنت لا تريد التحدث معي.

مثال 10: في هذا المثال، علينا التحقق مما إذا كان (X → Y) → Z وX → (Y → Z) متكافئين منطقيًا أم لا. علينا تبرير إجابتنا بمساعدة جداول الحقيقة وبمساعدة قواعد المنطق لتبسيط كلا التعبيرين.

حل: أولاً، سوف نستخدم الطريقة الأولى للتحقق مما إذا كان (X → Y) → Z وX → (Y → Z) متكافئين منطقيًا، وهو ما يتم وصفه على النحو التالي:

سلسلة لتحويل int في جافا

طريقة 1: وهنا سنفترض ما يلي:

 (X → Y) → Z ⇔ (¬X ∨ Y) → Z ⇔ ¬(¬X ∨ Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ ¬Y) ∨ Z ⇔ (X ∧ Z) ∨ (¬Y ∧ Z) 

و

 X → (Y → Z) ⇔ X → (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ (¬Y ∨ Z) ⇔ ¬X ∨ ¬Y ∨ Z X → Y) → Z and X → (Y → Z) 

الطريقة الثانية: الآن سوف نستخدم الطريقة الثانية في هذه الطريقة، سوف نستخدم جدول الحقيقة.

في جدول الحقيقة هذا، يمكننا أن نرى أن أعمدة (X → Y) → Z وX → (Y → Z) لا تحتوي على قيم متطابقة.