يمكن تمثيل بيان التضمين في النموذج 'إذا.... ثم'. يُستخدم الرمز ⇒ لإظهار المعنى الضمني. لنفترض أن هناك عبارتين، P وQ. في هذه الحالة، يمكن أيضًا كتابة العبارة 'if P إذن Q' كـ P ⇒ Q أو P → Q، وسيتم قراءتها كـ 'P تعني Q'. في هذا التضمين، العبارة P هي فرضية، والتي تُعرف أيضًا باسم الفرضية والسابقة، والبيان Q هو الاستنتاج، والذي يُعرف أيضًا باسم ما يترتب على ذلك.

يلعب التضمين أيضًا دورًا مهمًا في الحجة المنطقية. وإذا كان من المعروف أن مضمون الأقوال صحيح، فمتى تحققت المقدمة، يجب أن تكون النتيجة صحيحة أيضًا. ولهذا السبب، يُعرف التضمين أيضًا بالبيان الشرطي.

يتم وصف بعض الأمثلة على الآثار على النحو التالي:

سلسلة jsonobject

• 'إذا كان الطقس في غوا مشمسًا، فسنذهب إلى الشاطئ'.
• 'إذا كان لدى النادي نظام خصم، فسنذهب إلى هذا النادي'.
• 'إذا كان الجو مشمسًا أثناء الذهاب إلى الشاطئ، فسوف نكتسب سمرة'.

ويمكن التعبير عن التضمين المنطقي بعدة طرق، يمكن وصفها على النحو التالي:

1. إذا ع ثم ف
2. إذا ع، ف
3. ف عندما ص
4. س فقط إذا كان P
5. ف ما لم ~ص
6. ف كلما ص
7. p شرط كافي لـ q
8. ف تابع ص
9. ع يعني س
10. الشرط الضروري لـ p هو q
11. ف إذا ص
12. ف ضروري ل ص
13. p شرط ضروري لـ q

الآن سوف نقوم بوصف أمثلة لجميع الآثار الموصوفة أعلاه بمساعدة الفرضية P والاستنتاج Q. لهذا، سنفترض أن P = الجو مشمس وQ = سأذهب إلى الشاطئ.

ف ⇒ س

1. إذا كان الجو مشمسًا فسأذهب إلى الشاطئ
2. إذا كان الجو مشمسا، سأذهب إلى الشاطئ
3. سأذهب إلى الشاطئ عندما يكون الجو مشمسًا
4. سأذهب إلى الشاطئ فقط إذا كان الجو مشمسًا
5. سأذهب إلى الشاطئ إلا إذا لم يكن الجو مشمسًا
6. سأذهب إلى الشاطئ عندما يكون الجو مشمسًا
7. الجو مشمس وهو شرط كافي للذهاب إلى الشاطئ
8. سأذهب إلى الشاطئ، فالجو مشمس
9. الجو مشمس يعني أنني سأذهب إلى الشاطئ
10. الشرط الضروري للجو المشمس هو أن أذهب إلى الشاطئ
11. سأذهب إلى الشاطئ إذا كان الجو مشمسًا
12. سأذهب إلى الشاطئ ضروري لأنه مشمس
13. الجو مشمس وهو شرط ضروري لكي أذهب إلى الشاطئ

عندما تكون هناك عبارة شرطية 'if p ثم q'، فإن هذه العبارة P ⇒ Q ستكون خاطئة عندما تكون المقدمات p صحيحة، والاستنتاج q خاطئ. في جميع الحالات الأخرى، هذا يعني أنه عندما تكون p خاطئة أو Q صحيحة، فإن العبارة P ⇒ Q ستكون صحيحة. يمكننا تمثيل هذه العبارة بمساعدة جدول الحقيقة حيث سيتم تمثيل الخطأ بـ F والصحيح بـ T. يتم وصف جدول الحقيقة للعبارة 'إذا P إذن Q' على النحو التالي:

ليس من الضروري أن تكون المقدمات والاستنتاجات مرتبطة ببعضها البعض. على أساس صياغة P وQ، يعتمد تفسير جدول الحقيقة.

على سبيل المثال:

• إذا كان جاك مصنوعًا من البلاستيك، فإن المحيط أخضر.
• البيان: جاك مصنوع من البلاستيك
• البيان: المحيط أخضر

العبارتان أعلاه ليس لهما أي معنى لأن جاك إنسان، ولا يمكن أن يكون مصنوعًا من البلاستيك أبدًا، وعبارة أخرى أن المحيط أخضر لن يحدث أبدًا لأن المحيط دائمًا أزرق ولا يمكن تغيير لون المحيط. كما نرى أن كلا العبارتين غير مرتبطتين ببعضهما البعض. من ناحية أخرى، فإن جدول الحقيقة للعبارة P ⇒ Q صالح. إذن فالمسألة ليست مسألة صحة جدول الحقيقة أم لا، ولكنها مسألة خيال وتفسير.

لذلك في P ⇒ Q، لا نحتاج إلى أي نوع من الاتصال بين الفرضية وما يترتب عليها. على أساس القيمة الحقيقية لـ P وQ، فإن معنىهما يعتمد فقط.

وهذه الأقوال ستكون أيضًا كاذبة حتى لو أخذنا الأقوال في الاعتبار بالنسبة لعالمنا، لذا

 False ⇒ False 

لذلك عندما ننظر إلى جدول الحقيقة أعلاه، نرى أنه عندما تكون P خطأ وQ خطأ، فإن P ⇒ Q صحيح.

لذا، إذا كان الرافعة مصنوعة من البلاستيك، فسيكون المحيط أخضر اللون.

ومع ذلك، ستكون الفرضية p والاستنتاج q مرتبطتين، وكلا العبارتين منطقيتين.

التباس

يمكن أن يكون هناك غموض في المشغل الضمني. لذلك عندما نستخدم العامل الضمني (⇒)، في هذا الوقت، يجب علينا استخدام الأقواس.

على سبيل المثال: في هذا المثال، لدينا عبارة غامضة P ⇒ Q ⇒ R. الآن، لدينا عبارتين غامضتين ((P ⇒ Q) ⇒ R) أو (P ⇒ (Q ⇒ R))، وعلينا أن نبين ما إذا كانت هذه العبارات متشابهة أم لا.

حل: وسنثبت ذلك بالاستعانة بجدول الحقيقة، وهو كما يلي:

في جدول الحقيقة أعلاه، يمكننا أن نرى أن جدول الحقيقة لـ P ⇒ (Q ⇒ R) و (P ⇒ Q) ⇒ R ليسا متشابهين. ومن ثم، فإن كلاهما سيولد مخرجات أو نتائج مختلفة.

المزيد عن التضمين

يتم وصف بعض الأمثلة الأخرى على الآثار على النحو التالي:

• إذا كان الجو مشمسا، فسأذهب إلى المدرسة.
• إذا حصلت على وظيفة جيدة، فسوف أكسب المال.
• إذا حصلت على علامات جيدة، فسيكون والداي سعداء.

في جميع الأمثلة المذكورة أعلاه، نشعر بالارتباك لأننا لا نعرف متى سيتم اعتبار التضمين صحيحًا ومتى سيتم اعتباره خطأً. لحل هذه المشكلة وفهم مفهوم التضمين سنستخدم مثالا افتراضيا. في هذا المثال سنفترض أن ماري ستلعب كرة الريشة مع صديقها جاك، ويريد صديقها جاك تحفيز ماري قليلاً، فيغريها بجملة:

 'If you win then I will buy a ring for you' 

من خلال هذا البيان، يقصد جاك أنه إذا فاز الزواج، فمن الواضح أنه سيشتري خاتمًا. من خلال هذا البيان، جاك لا يلتزم إلا عندما يفوز ماري. ولم يرتكب أي شيء بأي حال من الأحوال عندما فقدت مريم. لذا، في نهاية المباراة، لا يمكن أن يكون هناك سوى أربعة احتمالات، وهي موضحة على النحو التالي:

• الزواج يفوز - شراء الخاتم.
• الزواج يفوز - لا تشتري خاتمًا.
• الزواج يخسر - شراء خاتم.
• الزواج يخسر - لا تشتري خاتمًا.

ومع ذلك، لم يدلي جاك بأي تصريح يتعلق بالقاعدة (ب). كما أنه لم يذكر القاعدتين رقم (ج) و(د) في بيانه، لذا إذا تزوجت، فالأمر متروك تمامًا لجاك لشراء خاتم لها أم لا. في الواقع، قد تحدث العبارات (أ)، و(ج)، و(د) كنتيجة للجملة التي قالها جاك لماري، ولكن (ب) لن تكون النتيجة. إذا حدثت النتيجة (ب)، عندها فقط سيتم القبض على جاك وهو يكذب. وفي الحالات الثلاث الأخرى أي (أ) و(ج) و(د) يكون صادقاً.

الآن سوف نستخدم العبارة الأبسط حتى نتمكن من تعريف عبارة جاك بشكل رمزي مثل هذا:

 P: you win Q: I will buy a ring for you 

في هذا المعنى الضمني، نستخدم الرمز المنطقي ⇒، والذي يمكن قراءته على أنه 'يتضمن'. سنقوم بتكوين جملة Jack's Compound بمساعدة وضع هذا السهم من P إلى Q هكذا:

 P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you. 

في الختام، لاحظنا أن التضمين سيكون خاطئًا فقط عندما تكون P صحيحة وq خاطئة. وفقًا لهذا البيان، فازت ماري باللعبة، لكن للأسف لم يشتري جاك خاتمًا. وفي جميع الحالات/النتائج الأخرى، سيكون البيان صحيحًا. وبناء على ذلك، يتم وصف جدول الحقيقة للتضمين على النحو التالي:

يتم وصف قائمة المعادلات المنطقية المقابلة للتضمين على النحو التالي:

 T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T 

أمثلة على التضمين:

هناك أمثلة مختلفة على الآثار، ويمكن وصف بعضها على النحو التالي:

مثال 1: لنفترض أن هناك أربعة عبارات، P، Q، R، وS حيث

ص: جاك في المدرسة

س: جاك يقوم بالتدريس

رد: جاك نائم

S: جاك مريض

سنقوم الآن بوصف بعض العبارات الرمزية التي تتضمنها هذه العبارات البسيطة.

1. ف → ر
2. S → ~P
3. ~س → (S ∧ R)
4. (P ∨ R) → ~Q
5. (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)

وعلينا هنا أن نبين تمثيل تفسير هذه العبارات الرمزية إلى كلمات.

حل:

مثال 2: في هذا المثال، لدينا تأثير ضمني P → Q. هنا، لدينا أيضًا ثلاث عبارات مركبة أخرى ترتبط بشكل طبيعي بهذا المعنى الضمني الذي هو عكس إيجابي، ومعكوس، وعكس المعنى الضمني. يتم وصف العلاقة بين هذه العبارات الأربعة بمساعدة جدول، وهو موضح على النحو التالي:

الآن سوف نتناول مثالًا ضمنيًا، والذي يتضمن عبارة 'إذا درست جيدًا، فستحصل على علامات جيدة'. هذا البيان في شكل P → Q، حيث

س: أنت تدرس جيدًا

س: تحصل على علامات جيدة

الآن سوف نستخدم عبارات P وQ ونعرض البيانات المرتبطة الأربعة كما يلي:

يتضمن: إذا درست جيدًا، تحصل على علامات جيدة.

الحديث: إذا حصلت على علامات جيدة، فأنت تدرس جيدًا.

معكوس: إذا لم تدرس جيدًا، فلن تحصل على علامات جيدة.

موانع إيجابية: إذا لم تحصل على علامات جيدة، فأنت لا تدرس جيدًا.

تم وصف قيم الحقيقة لجميع العبارات المرتبطة أعلاه بمساعدة جدول الحقيقة، والذي تم وصفه على النحو التالي

في الجدول أعلاه، يمكننا أن نرى أن التضمين (P → Q) وعكسه الإيجابي (~Q → ~P) لهما نفس القيمة في أعمدتهما. وهذا يعني أنهما متساويان. لذلك يمكننا أن نقول أن:

 P → Q = ~Q → ~P 

وبالمثل، يمكننا أن نرى أن المعكوس والمعكوس لهما قيم متشابهة في أعمدتهما. لكن هذا لن يحدث أي فرق، لأن العكس هو عكس العكس. وبالمثل، يمكن الحصول على التضمين الأصلي من المضاد الإيجابي للمضاد الإيجابي. (وهذا يعني أنه إذا قمنا بإلغاء P وQ ثم قمنا بتبديل اتجاه السهم، وبعد ذلك، سنكرر العملية مرة أخرى، وهذا يعني إلغاء ~P و~Q، وقمنا مرة أخرى بتبديل اتجاه السهم، في هذه الحالة، سنحصل على عدنا من حيث بدأنا).