المنطق المسند يتعامل مع المسندات، وهي قضايا تتكون من متغيرات.

المنطق المسند - التعريف

المسند هو تعبير عن واحد أو أكثر من المتغيرات المحددة في مجال معين. يمكن تقديم المسند مع المتغيرات اقتراحًا إما عن طريق تفويض قيمة للمتغير أو عن طريق قياس المتغير.

إذا حلقة أخرى في Java

• ضع في اعتبارك أن E(x, y) تشير إلى 'x = y'
• ضع في اعتبارك أن X(a, b, c) تشير إلى 'a + b + c = 0'
• ضع في اعتبارك أن M(x, y) تشير إلى أن 'x متزوج من y'.

محدد الكمية:

يتم قياس متغير المسندات بواسطة محددات الكمية. هناك نوعان من المحدد الكمي في المنطق المسند - المحدد الكمي الوجودي والمحدد الكمي العالمي.

المحدد الكمي الوجودي:

إذا كانت p(x) عبارة عن اقتراح حول الكون U. ثم يُشار إليه بـ ∃x p(x) ويُقرأ على أنه 'توجد قيمة واحدة على الأقل في عالم المتغير x بحيث تكون p(x) صحيحة.' يُطلق على المُحدِّد الكمي ∃ المُحدِّد الكمي الوجودي.

هناك عدة طرق لكتابة الاقتراح، باستخدام محدد كمي وجودي، أي:

(∃x∈A)p(x) أو ∃x∈A بحيث يكون p (x) أو (∃x)p(x) أو p(x) صحيحًا لبعض x ∈A.

أمر آرب

محدد الكمية العالمي:

إذا كانت p(x) عبارة عن اقتراح حول الكون U. فيتم الإشارة إليه كـ ∀x,p(x) وقراءته كـ 'لكل x∈U,p(x) صحيح.' المُحدِّد الكمي ∀ يُسمى المُحدِّد الكمي العالمي.

هناك عدة طرق لكتابة الاقتراح باستخدام محدد كمي عالمي.

∀x∈A,p(x) أو p(x), ∀x ∈A أو ∀x,p(x) أو p(x) صحيح لجميع x ∈A.

نفي المقترحات الكمية:

عندما ننفي افتراضًا محددًا كميًا، أي عندما يتم إبطال افتراض محدد كميًا عالميًا، فإننا نحصل على افتراض محدد كميًا وجوديًا، وعندما يتم إبطال افتراض محدد كميًا وجوديًا، نحصل على اقتراح محدد كميًا عالميًا.

القاعدتان لنفي الاقتراح الكمي هما كما يلي. وتسمى هذه أيضًا قانون ديمورجان.

مثال: نفي كل من الفرضيات التالية:

إلى طريقة السلسلة في Java

1.∀x ع(س)∧ ∃ ذ ف(ص)

شمس: ~.∀x ع(س)∧ ∃ ذ ف(ص))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ س ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

شمس: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ س∈U~ (س+6)=25
≅(∀ س∈U) (س+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

شمس: ~( ∃ س ع(س)∨∀ ذ ف(ذ))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ س ∼ ص(س)∧∃y~q(y))

المقترحات ذات المحددات الكمية المتعددة:

يمكن قياس الاقتراح الذي يحتوي على أكثر من متغير باستخدام محددات كمية متعددة. يمكن ترتيب محددات الكمية العالمية المتعددة بأي ترتيب دون تغيير معنى الاقتراح الناتج. كما يمكن ترتيب المحددات الكمية الوجودية المتعددة بأي ترتيب دون تغيير معنى الاقتراح.

الاقتراح الذي يحتوي على محددات كمية عالمية ووجودية، لا يمكن تبادل ترتيب تلك المحددات الكمية دون تغيير معنى الاقتراح، على سبيل المثال، الاقتراح ∃x ∀ y p(x,y) يعني 'يوجد بعض x مثل p' (x, y) صحيح لكل y.'

مثال: اكتب النفي لكل مما يأتي تحديد ما إذا كانت العبارة الناتجة صحيحة أم خاطئة. افترض U = R.

1.∀ س ∃ م(س²

شمس: سالب ∀ x ∃ m(x²2≧م). معنى ∃ x ∀ م (x²≧m) هو أن هناك بعض x مثل x²≧م، لكل م. العبارة صحيحة حيث أن هناك x أكبر مثل x²≧م، لكل م.

النوم في شبيبة

2. ∃ م∀ س(س²

شمس: سالب ∃ m ∀ x (x²2≧م). معنى ∀ m∃x (x²≧m) هو أنه مقابل كل m يوجد لبعض x مثل x²≧ م. العبارة صحيحة لأنه بالنسبة لكل m، هناك x أكبر مثل x²≧ م.