TechCodeview

بمجرد حصولك على الصيغة التربيعية وأساسيات المعادلات التربيعية بشكل مبسط، فقد حان الوقت للمستوى التالي من علاقتك مع القطع المكافئة: التعرف على خصائصها شكل قمة الرأس .

تابع القراءة لمعرفة المزيد عن صيغة قمة القطع المكافئ وكيفية تحويل معادلة تربيعية من الصورة القياسية إلى صيغة قمة الرأس.

ميزة الصورة الائتمان: SBA73 / فليكر

لماذا يعد نموذج Vertex مفيدًا؟ لمحة عامة

ال شكل قمة الرأس المعادلة هي طريقة بديلة لكتابة معادلة القطع المكافئ.

عادة، سترى معادلة تربيعية مكتوبة بالشكل $ax^2+bx+c$، والتي عند رسمها بيانيًا ستكون قطعًا مكافئًا. من هذا النموذج، من السهل العثور على جذور المعادلة (حيث يصل القطع المكافئ إلى المحور $x$) عن طريق جعل المعادلة مساوية للصفر (أو باستخدام الصيغة التربيعية).

إذا كنت تريد إيجاد رأس القطع المكافئ، فإن الصورة التربيعية القياسية ستكون أقل فائدة بكثير. بدلًا من ذلك، ستحتاج إلى تحويل المعادلة التربيعية إلى صيغة رأسية.

ما هو نموذج فيرتكس؟

في حين أن الصيغة التربيعية القياسية هي $ax^2+bx+c=y$، صيغة قمة المعادلة التربيعية هي $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

في كلا النموذجين، $y$ هو الإحداثي $y$، و$x$ هو الإحداثي $x$، و$a$ هو الثابت الذي يخبرك ما إذا كان القطع المكافئ متجهًا لأعلى ($+a$) أو لأسفل ($-أ$). (أفكر في الأمر كما لو كان القطع المكافئ عبارة عن وعاء من عصير التفاح؛ إذا كان هناك $+a$، فيمكنني إضافة عصير التفاح إلى الوعاء؛ وإذا كان هناك $-a$، فيمكنني إخراج عصير التفاح من الوعاء.)

الفرق بين صيغة القطع المكافئ القياسية وصيغة قمة الرأس هو أن صيغة قمة المعادلة تعطيك أيضًا قمة القطع المكافئ: $(h,k)$.

على سبيل المثال، ألقِ نظرة على هذا القطع المكافئ الرائع، $y=3(x+4/3)^2-2$:

استنادًا إلى الرسم البياني، تبدو قمة القطع المكافئ مثل (-1.5,-2)، لكن من الصعب تحديد مكان الرأس بالضبط من الرسم البياني وحده. لحسن الحظ، استنادًا إلى المعادلة $y=3(x+4/3)^2-2$، نعرف أن رأس هذا القطع المكافئ هو $(-4/3,-2)$.

لماذا يكون الرأس $(-4/3,-2)$ وليس $(4/3,-2)$ (بخلاف الرسم البياني، مما يوضح إحداثيات $x$- و$y$- لـ قمة سلبية)؟

يتذكر: في معادلة النموذج الرأسي، يتم طرح $h$ وإضافة $k$ . إذا كان لديك $h$ سالبًا أو $k$ سالبًا، فستحتاج إلى التأكد من طرح $h$ السالب وإضافة $k$ السالب.

في هذه الحالة، هذا يعني:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

وبالتالي فإن الرأس هو $(-4/3,-2)$.

يجب عليك دائمًا التحقق مرة أخرى من الإشارات الإيجابية والسلبية عند كتابة القطع المكافئ في شكل رأسي ، خاصة إذا كان الرأس لا يحتوي على قيم $x$ و $y$ موجبة (أو بالنسبة لك، إذا لم يكن موجودًا الربع الأول ). يشبه هذا الفحص الذي ستجريه إذا كنت تحل الصيغة التربيعية ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) وتحتاج إلى التأكد من أنك حافظت على نقاطك الإيجابية و السلبيات مباشرة لـ $a$s و $b$s و $c$s.

يوجد أدناه جدول يحتوي على مزيد من الأمثلة لبعض معادلات شكل القطع المكافئ الأخرى، بالإضافة إلى رؤوسها. لاحظ على وجه الخصوص الفرق في الجزء $(x-h)^2$ من معادلة شكل قمة القطع المكافئ عندما يكون إحداثي الرأس $x$ سالبًا.

كيفية التحويل من النموذج التربيعي القياسي إلى النموذج الرأسي

في أغلب الأحيان، عندما يُطلب منك تحويل المعادلات التربيعية بين أشكال مختلفة، ستنتقل من الصيغة القياسية ($ax^2+bx+c$) إلى الصيغة الرأسية ($a(x-h)^2+k$ ).

تتضمن عملية تحويل المعادلة من الصيغة التربيعية القياسية إلى الصيغة الرأسية القيام بمجموعة من الخطوات تسمى إكمال المربع. (لمعرفة المزيد حول إكمال المربع، تأكد من قراءة هذا المقال.)

دعونا نستعرض مثالًا لتحويل المعادلة من الصورة القياسية إلى الصورة الرأسية. سنبدأ بالمعادلة $y=7x^2+42x-3/14$.

أول شيء عليك فعله هو نقل الثابت أو المصطلح الذي لا يحتوي على $x$ أو $x^2$ بجانبه. في هذه الحالة، الثابت لدينا هو $-3/14$. (نحن نعلم أنه سلبي $3/14$ لأن المعادلة التربيعية القياسية هي $ax^2+bx+c$، وليس $ax^2+bx-c$.)

أولاً، سنأخذ $-3/14$ وننقله إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

$y+3/14=7x^2+42x$

الخطوة التالية هي إخراج الرقم 7 (القيمة $a$ في المعادلة) من الجانب الأيمن، كما يلي:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

عظيم! تبدو هذه المعادلة أشبه بصيغة قمة الرأس $y=a(x-h)^2+k$.

في هذه المرحلة، ربما تفكر، 'كل ما أحتاج إلى فعله الآن هو إعادة مبلغ 3/14 دولارًا إلى الجانب الأيمن من المعادلة، أليس كذلك؟' للأسف، ليس بهذه السرعة.

إذا ألقيت نظرة على جزء من المعادلة داخل الأقواس، ستلاحظ مشكلة: إنها ليست على الصورة $(x-h)^2$. هناك الكثير من $x$s! لذلك نحن لم ننته بعد.

ما يتعين علينا القيام به الآن هو الجزء الأصعب، ألا وهو إكمال المربع.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على الجزء $x^2+6x$ من المعادلة. من أجل تحليل $(x^2+6x)$ إلى شيء يشبه $(x-h)^2$، سنحتاج إلى إضافة ثابت إلى داخل الأقواس - وسنحتاج إلى التذكر لإضافة هذا الثابت إلى الجانب الآخر من المعادلة أيضًا (نظرًا لأن المعادلة تحتاج إلى أن تظل متوازنة).

لإعداد ذلك (والتأكد من أننا لا ننسى إضافة الثابت إلى الجانب الآخر من المعادلة)، سنقوم بإنشاء مساحة فارغة حيث سيوضع الثابت على جانبي المعادلة:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

لاحظ أنه على الجانب الأيسر من المعادلة، حرصنا على تضمين القيمة $a$، 7، أمام المساحة التي سيوضع فيها الثابت؛ هذا لأننا لا نضيف الثابت إلى الجانب الأيمن من المعادلة فحسب، بل نضرب الثابت في كل ما هو موجود خارج القوسين. (إذا كانت قيمة $a$ هي 1، فلا داعي للقلق بشأن ذلك.)

والخطوة التالية هي إكمال المربع. في هذه الحالة، المربع الذي تقوم بإكماله هو المعادلة الموجودة داخل الأقواس - عن طريق إضافة ثابت، فإنك تحولها إلى معادلة يمكن كتابتها كمربع.

لحساب هذا الثابت الجديد، خذ القيمة المجاورة لـ $x$ (6، في هذه الحالة)، وقسمها على 2، وقم بتربيعها.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. الثابت هو 9

السبب وراء قيامنا بتقسيم العدد 6 وتربيعه إلى النصف هو أننا نعلم أنه في المعادلة بالصيغة $(x+p)(x+p)$ (وهو ما نحاول الوصول إليه)، يكون $px+px= 6x$، إذن $p=6/2$; للحصول على الثابت $p^2$، علينا أن نأخذ $6/2$ ($p$ الخاص بنا) ونقوم بتربيعه.

الآن، استبدل المساحة الفارغة على جانبي المعادلة بالثابت 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

بعد ذلك، قم بتحليل المعادلة داخل الأقواس. نظرًا لأننا أكملنا المربع، ستتمكن من تحليله إلى $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

الخطوة الأخيرة: انقل القيمة غير $y$ من الجانب الأيسر للمعادلة إلى الجانب الأيمن:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

تهانينا! لقد نجحت في تحويل المعادلة من الصيغة التربيعية القياسية إلى الصيغة الرأسية.

الآن، لن تطلب منك معظم المسائل تحويل معادلاتك من الصورة القياسية إلى الصورة الرأسية فحسب؛ سيطلبون منك أن تعطي إحداثيات رأس القطع المكافئ.

لتجنب الانخداع بتغييرات الإشارة، دعنا نكتب معادلة صيغة الرأس العامة مباشرةً فوق معادلة صيغة الرأس التي حسبناها للتو:

$y=a(xh)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

وبعد ذلك يمكننا بسهولة العثور على $h$ و$k$:

$-ح=3$

$ح=-3$

$+ك=-{885/14}$

وتقع قمة هذا القطع المكافئ عند الإحداثيات $(-3,-{885/14})$.

يا للعجب، كان ذلك الكثير من خلط الأرقام حولها! ولحسن الحظ، فإن تحويل المعادلات في الاتجاه الآخر (من الرأس إلى الصورة القياسية) أسهل بكثير.

كيفية التحويل من نموذج Vertex إلى النموذج القياسي

يعد تحويل المعادلات من صيغة الرأس إلى الصورة التربيعية العادية عملية أكثر وضوحًا: كل ما عليك فعله هو ضرب صيغة الرأس.

لنأخذ مثالنا للمعادلة السابقة، $y=3(x+4/3)^2-2$. لتحويل ذلك إلى صيغة قياسية، نقوم فقط بتوسيع الجانب الأيمن من المعادلة:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

تادا! لقد نجحت في تحويل $y=3(x+4/3)^2-2$ إلى صيغة $ax^2+bx+c$.

ممارسة نموذج القطع المكافئ فيرتكس: أسئلة نموذجية

لاختتام هذا الاستكشاف لشكل الرأس، لدينا أربعة أمثلة للمسائل والتفسيرات. تعرف على ما إذا كان بإمكانك حل المشكلات بنفسك قبل قراءة التفسيرات!

رقم 1: ما هو الشكل الرأسي للمعادلة التربيعية $x^2+ 2.6x+1.2$؟

رقم 2: حول المعادلة $7y=91x^2-112$ إلى الصيغة الرأسية. ما هي قمة الرأس؟

رقم 3: بالنظر إلى المعادلة $y=2(x-3/2)^2-9$، ما هي إحداثيات $x$-حيث تتقاطع هذه المعادلة مع المحور $x$-؟

رقم 4: أوجد رأس القطع المكافئ $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

ممارسة نموذج القطع المكافئ فيرتكس: الحلول

رقم 1: ما هو الشكل الرأسي للمعادلة التربيعية ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$؟

ابدأ بفصل المتغير غير $x$ على الجانب الآخر من المعادلة:

$y-1.2=x^2+2.6x$

نظرًا لأن $a$ (كما في $ax^2+bx+c$) في المعادلة الأصلية يساوي 1، فلا نحتاج إلى إخراجها من الجانب الأيمن هنا (على الرغم من أنه يمكنك الكتابة إذا أردت $y-1.2=1(x^2+2.6x)$).

بعد ذلك، قم بتقسيم المعامل $x$ (2.6) على 2 وقم بتربيعه، ثم قم بإضافة الرقم الناتج إلى طرفي المعادلة:

$(2.6/2)^2=(1.3)^2=1.69$

$y-1.2+1(1.69)=1(x^2+2.6x+1.69)$

قم بتحليل الجانب الأيمن من المعادلة داخل الأقواس:

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

أخيرًا، اجمع الثوابت الموجودة في الجانب الأيسر من المعادلة، ثم انقلها إلى الجانب الأيمن.

$y-1.2+1.69=(x+1.3)^2$

$y+0.49=(x+1.3)^2$

إجابتنا هي $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: تحويل المعادلة $7i y=91i x^2-112$ إلى الصيغة الرأسية. ما هي قمة الرأس؟

عند تحويل معادلة إلى صيغة رأسية، فأنت تريد أن يكون لـ $y$ معامل يساوي 1، لذا فإن أول شيء سنفعله هو قسمة طرفي هذه المعادلة على 7:

$7y = 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

بعد ذلك، قم بإحضار الثابت إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

$y+16=13x^2$

قم بإخراج معامل الرقم $x^2$ ($a$) من الجانب الأيمن للمعادلة

$y+16=13(x^2)$

الآن، عادةً ما يتعين عليك إكمال المربع الموجود على الجانب الأيمن من المعادلة داخل القوسين. ومع ذلك، $x^2$ هو بالفعل مربع، لذلك لا تحتاج إلى القيام بأي شيء إلى جانب نقل الثابت من الجانب الأيسر من المعادلة إلى الجانب الأيمن:

$y=13(x^2)-16$.

الآن للعثور على قمة الرأس:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$، إذن $h=0$

$+k=-16$، إذن $k=-16$

قمة القطع المكافئ هي $(0, -16)$.

#3: بالنظر إلى المعادلة $i y=2(i x-3/2)^2-9$، ما هو الإحداثيات $i x$-حيث تتقاطع هذه المعادلة مع $i x$-محور؟

نظرًا لأن السؤال يطلب منك إيجاد تقاطع (تقاطعات) $x$ للمعادلة، فإن الخطوة الأولى هي تعيين $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

الآن، هناك طريقتان للانتقال من هنا. الطريقة المخادعة هي استخدام حقيقة أن هناك بالفعل مربعًا مكتوبًا في معادلة صيغة الرأس لصالحنا.

أولاً، سنقوم بنقل الثابت إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

$0=2(س-3/2)^2-9$

$9=2(س-3/2)^2$

بعد ذلك، سنقسم طرفي المعادلة على 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

الآن، الجزء المخادع. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة:

$√(9/2)=√{(س-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±