TechCodeview

إذا كنت تدرس حساب المثلثات أو حساب التفاضل والتكامل - أو تستعد لذلك - فسوف تحتاج إلى التعرف على دائرة الوحدة. دائرة الوحدة هي أداة أساسية تستخدم لحل جيب الزاوية وجيب التمام وظلها. ولكن كيف يعمل؟ وما هي المعلومات التي يجب أن تعرفها لتتمكن من استخدامها؟

كائن إلى json في Java

في هذه المقالة نوضح ما هي دائرة الوحدة ولماذا يجب أن تعرفها. نقدم لك أيضًا ثلاث نصائح لمساعدتك على تذكر كيفية استخدام دائرة الوحدة.

صورة الميزة: غوستافب / ويكيميديا

دائرة الوحدة: مقدمة أساسية

دائرة الوحدة هي دائرة نصف قطرها 1. هذا يعني أنه بالنسبة لأي خط مستقيم مرسوم من نقطة مركز الدائرة إلى أي نقطة على طول حافة الدائرة، فإن طول هذا الخط سيكون دائمًا يساوي 1. (وهذا يعني أيضًا أن قطر الدائرة يساوي 2، نظرًا لأن القطر يساوي ضعف طول نصف القطر).

عادة، النقطة المركزية لدائرة الوحدة هي نقطة تقاطع المحور السيني والمحور الصادي، أو عند الإحداثيات (0، 0):

من المفيد معرفة دائرة الوحدة، أو دائرة المثلثات كما تُعرف أيضًا، لأنها يتيح لنا بسهولة حساب جيب التمام والجيب والظل لأي زاوية بين 0° و360° (أو 0 و2π راديان).

كما ترون في الرسم البياني أعلاه، من خلال رسم نصف قطر في أي زاوية (مميزة بـ ∝ في الصورة)، سوف تقوم بإنشاء مثلث قائم الزاوية. في هذا المثلث، جيب التمام هو الخط الأفقي، وجيب التمام هو الخط العمودي. بعبارة أخرى، جيب التمام =الإحداثي x، و جيب = إحداثي y. (أطول خط في المثلث، أو الوتر، هو نصف القطر وبالتالي يساوي 1.)

لماذا كل هذا مهم؟ تذكر أنه يمكنك إيجاد أطوال أضلاع المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس، أو $a^2+b^2=c^2$ (بحيث أ و ب هي أطوال أضلاع المثلث، و ج هو طول الوتر).

نحن نعلم أن جيب تمام الزاوية يساوي طول الخط الأفقي، وجيب الجيب يساوي طول الخط الرأسي، والوتر يساوي ١. لذلك يمكننا القول: صيغة أي مثلث قائم الزاوية في دائرة الوحدة هي كما يلي:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

بما أن ^2=1$، فيمكننا تبسيط هذه المعادلة كما يلي:

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

انتبه أن يمكن أن تكون هذه القيم سلبية اعتمادًا على الزاوية المتكونة والربع الذي تقع فيه إحداثيات x وy (سأشرح ذلك بمزيد من التفصيل لاحقًا).

فيما يلي نظرة عامة على جميع الزوايا الرئيسية بالدرجات والراديان على دائرة الوحدة:

دائرة الوحدة – الدرجات

دائرة الوحدة - راديان

ولكن ماذا لو لم يكن هناك مثلث؟ دعنا ننظر إلى ماذا يحدث عندما تكون الزاوية 0 درجة، مما يؤدي إلى إنشاء خط أفقي مستقيم على طول المحور السيني:

على هذا الخط، إحداثي x يساوي 1 وإحداثي y يساوي 0. ونحن نعلم ذلك جيب التمام يساوي إحداثي x، وجيب التمام يساوي إحداثي y، حتى نتمكن من كتابة هذا:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

ماذا إذا الزاوية 90° وترسم خطًا رأسيًا تمامًا على طول المحور y؟

هنا، يمكننا أن نرى أن إحداثي x يساوي 0 وإحداثي y يساوي 1. وهذا يعطينا القيم التالية لجيب الجيب وجيب التمام:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

ينطبق هذا الشعار بالتأكيد إذا لم تكن من محبي الرياضيات.

لماذا يجب أن تعرف دائرة الوحدة

كما ذكر أعلاه، دائرة الوحدة مفيدة لأن فهو يسمح لنا بالحل بسهولة لجيب الجيب أو جيب التمام أو الظل بأي درجة أو راديان. من المفيد بشكل خاص معرفة مخطط دائرة الوحدة إذا كنت تريد حل قيم مثلثية معينة لواجب الرياضيات المنزلي أو إذا كنت تستعد لدراسة حساب التفاضل والتكامل.

ولكن كيف يمكن أن تساعدك معرفة دائرة الوحدة بالضبط؟ لنفترض أنك أعطيت المشكلة التالية في اختبار الرياضيات، وهي كذلك لا مسموح باستخدام الآلة الحاسبة لحلها:

$$sin30°$$

أين تبدأ؟ دعونا نلقي نظرة على مخطط دائرة الوحدة مرة أخرى، هذه المرة مع جميع الزوايا الرئيسية (بالدرجات والراديان) والإحداثيات المقابلة لها:

جيم بيلك / ويكيميديا

لا تطغى! تذكر أن كل ما تبحث عنه هو $sin30°$. من خلال النظر إلى هذا الرسم البياني، يمكننا أن نرى ذلك الإحداثي y يساوي /2$ عند 30°. وبما أن الإحداثي y يساوي جيب الزاوية، فإن إجابتنا هي كما يلي:

$$sin30°=1/2$$

ولكن ماذا لو واجهت مشكلة تستخدم الراديان بدلاً من الدرجات؟ عملية حلها لا تزال هي نفسها. لنفترض، على سبيل المثال، أن لديك مشكلة تبدو كما يلي:

$$cos{{3π}/4}$$

مرة أخرى، باستخدام الرسم البياني أعلاه، يمكننا أن نرى أن إحداثي x (أو جيب التمام) لـ ${3π}/4$ (الذي يساوي 135°) هو $-{√2}/2$. إليك ما ستبدو عليه إجابتنا لهذه المشكلة بعد ذلك:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

كل هذا سهل جدًا إذا كان لديك مخطط دائرة الوحدة أعلاه لاستخدامه كمرجع. لكن في معظم الأوقات (إن لم يكن كلها)، لن يكون هذا هو الحال، ومن المتوقع منك الإجابة على هذه الأنواع من أسئلة الرياضيات باستخدام عقلك فقط.

إذًا كيف يمكنك تذكر دائرة الوحدة؟ واصل القراءة للحصول على أهم نصائحنا!

كيفية تذكر دائرة الوحدة: 3 نصائح أساسية

في هذا القسم، نقدم لك أهم النصائح لتذكر الدائرة المثلثية حتى تتمكن من استخدامها بسهولة في أي مسألة رياضية تتطلب ذلك.

لا أنصح بالتدرب على دائرة الوحدة بالملصقات، لكنها البداية.

#1: احفظ الزوايا والإحداثيات المشتركة

لكي تستخدم دائرة الوحدة بفعالية، ستحتاج إلى ذلك احفظ الزوايا الأكثر شيوعًا (بالدرجات والراديان) بالإضافة إلى إحداثيات x وy المقابلة لها.

الرسم البياني أعلاه عبارة عن مخطط دائرة وحدة مفيد يجب النظر إليه، لأنه يتضمن جميع الزوايا الرئيسية بالدرجات والراديان، بالإضافة إلى نقاط الإحداثيات المقابلة لها على طول المحورين x وy.

فيما يلي مخطط يسرد هذه المعلومات نفسها في شكل جدول:

الآن، بينما أنت مرحب بك لمحاولة حفظ كل هذه الإحداثيات والزوايا، هذا هو كثيراً من الأشياء التي يجب تذكرها.

لحسن الحظ، هناك خدعة يمكنك استخدامها لمساعدتك على تذكر الأجزاء الأكثر أهمية في دائرة الوحدة.

انظر إلى الإحداثيات أعلاه وستلاحظ نمطًا واضحًا: جميع النقاط (باستثناء النقاط عند 0° و90° و270° و360°) قم بالتناوب بين ثلاث قيم فقط (سواء كانت إيجابية أو سلبية):

• 1/2 دولار
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

كل قيمة تتوافق مع خط قصير أو متوسط ​​أو طويل لكل من جيب التمام والجيب:

إليك ما تعنيه هذه الأطوال:

خط أفقي أو عمودي قصير= 1 دولار/2 دولار خط أفقي أو عمودي متوسط= ${√2}/2$ خط أفقي أو عمودي طويل= ${√3}/2$

على سبيل المثال، إذا كنت تحاول حل $cos{π/3}$، فيجب أن تعلم على الفور أن هذه الزاوية (التي تساوي 60°) تشير إلى خط أفقي قصير على دائرة الوحدة. لذلك، يجب أن يساوي إحداثي x المقابل /2$ (قيمة موجبة، حيث أن $π/3$ تنشئ نقطة في الربع الأول من نظام الإحداثيات).

أخيرًا، على الرغم من أنه من المفيد حفظ جميع الزوايا في الجدول أعلاه، لاحظ ذلك إلى حد بعيد الزوايا الأكثر أهمية التي يجب تذكرها هي ما يلي:

• 30° / $p/6$
• 45° / $p/4$
• 60° / $p/3$

تعامل مع سلبياتك وإيجابياتك كما تفعل مع الكابلات التي قد تقتلك إذا تم توصيلها بشكل غير صحيح.

#2: تعرف على ما هو سلبي وما هو إيجابي

من المهم جدًا أن تكون قادرًا على التمييز بين إحداثيات x وy الموجبة والسالبة حتى تتمكن من العثور على القيمة الصحيحة لمسألة حساب المثلثات. للتذكير، في يعتمد على ما إذا كان الإحداثي على دائرة الوحدة موجبًا أم سالبًا أي ربع (I، II، III، أو IV) تقع تحته النقطة:

فيما يلي مخطط يوضح ما إذا كان الإحداثي سيكون موجبًا أم سالبًا استنادًا إلى الربع الذي توجد فيه زاوية معينة (بالدرجات أو الراديان):

على سبيل المثال، لنفترض أنك أعطيت المشكلة التالية في اختبار الرياضيات:

سلسلة. قارن ج #

$$cos210°$$

قبل أن تحاول حلها، يجب أن تكون قادرًا على إدراك أن الإجابة ستكون رقم سلبي بما أن الزاوية 210° تقع في الربع الثالث (حيث تكون إحداثيات x دائماً سلبي).

الآن، باستخدام الخدعة التي تعلمناها في النصيحة رقم 1، يمكنك معرفة أنه يتم إنشاء زاوية قدرها 210 درجة خط أفقي طويل. ولذلك فإن جوابنا هو كما يلي:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: تعرف على كيفية حل الظل

وأخيرًا، من الضروري معرفة كيفية استخدام كل هذه المعلومات حول الدائرة المثلثية وجيب التمام وجيب التمام حتى تتمكن من حل لظل الزاوية.

في حساب المثلثات، يمكنك ببساطة العثور على ظل الزاوية θ (بالدرجات أو بالراديان). تقسيم الجيب على جيب التمام:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

على سبيل المثال، لنفترض أنك تحاول الإجابة على هذه المشكلة:

$$ an300°$$

الخطوة الأولى هي إعداد معادلة بدلالة الجيب وجيب التمام:

بيثون خط جديد

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

والآن، لإيجاد المماس، علينا إيجاد جيب الجيب و جيب التمام من 300 درجة. يجب أن تكون قادرًا على إدراك أن الزاوية التي قياسها 300° تقع في الربع الرابع بسرعة، وهذا يعني ذلك سيكون جيب التمام أو الإحداثي x موجبًا، وسيكون الجيب أو الإحداثي y سالبًا.

يجب أن تعرف ذلك أيضًا على الفور الزاوية 300 درجة تخلق خط أفقي قصير وخط عمودي طويل. وبالتالي، فإن جيب التمام (الخط الأفقي) يساوي /2$، وجيب التمام (الخط العمودي) يساوي $-{√3}/2$ (قيمة y سالبة، نظرًا لأن هذه النقطة تقع في الربع الرابع) .

الآن، للعثور على المماس، كل ما عليك فعله هو التعويض وحل:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2}$$

$$ an300°=-√3$$

حان الوقت لصقل مهاراتك في الرياضيات!

مجموعة أسئلة التدريب على دائرة الوحدة

الآن بعد أن عرفت كيف تبدو دائرة الوحدة وكيفية استخدامها، فلنختبر ما تعلمته من خلال بعض المسائل التدريبية.

أسئلة

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $تان{2π}/3$

الإجابات

1. ${√2}/2$
2. $-1/2$
3. 1/2 دولار
4. $-√3$

توضيحات الإجابة

رقم 1: $sin45°$

في هذه المشكلة، هناك معلومتان يجب أن تكون قادرًا على التعرف عليهما على الفور:

الجواب سيكون إيجابيابما أن الزاوية 45° تقع في الربع I، وجيب الزاوية يساوي إحداثي y

• تخلق الزاوية 45 درجة خط عمودي متوسط ​​الطول (لهم)

بما أن 45 درجة تشير إلى خط موجب متوسط ​​الطول، والجواب الصحيح هو ${√2}/2$.

إذا لم تكن متأكدًا من كيفية معرفة ذلك، ارسم مخططًا لمساعدتك في تحديد ما إذا كان طول الخط سيكون قصيرًا أم متوسطًا أم طويلًا.

#2: $cos240°$

كما هو الحال في المشكلة رقم 1 أعلاه، هناك معلومتان يجب أن تكون قادرًا على فهمهما سريعًا في هذه المشكلة:

الجواب سيكون سلبيابما أن الزاوية 240° تقع في الربع III، وجيب تمام الزاوية يساوي إحداثي x

• تخلق الزاوية 240 درجة خط أفقي قصير (لجيب التمام)

بما أن 240 درجة تشير إلى خط سلبي قصير، والجواب الصحيح هو $-1/2$.

رقم 3: $cos{5π}/3$

على عكس المشاكل المذكورة أعلاه، تستخدم هذه المشكلة راديان بدلا من الدرجات. على الرغم من أن هذا قد يجعل حل المشكلة يبدو أكثر صعوبة، إلا أنه في الواقع يستخدم نفس الخطوات الأساسية مثل المشكلتين الأخريين.

أولاً، يجب أن تدرك أن الزاوية ${5π}/3$ تقع في الربع الرابع، وبالتالي فإن إحداثي x أو جيب التمام سيكون رقم إيجابي. يجب أن تكون قادرًا أيضًا على معرفة ذلك${5π}/3$يخلق خط أفقي قصير.

وهذا يمنحك معلومات كافية لتحديد ذلك ال الإجابه هي 1/2 دولار.

رقم 4: $ an{2π}/3$

تتعامل هذه المسألة مع ظل الزاوية بدلًا من جيب التمام أو جيب التمام، مما يعني أنها ستتطلب المزيد من العمليات الحسابية من جانبنا. أولا، أذكر الصيغة الأساسية لإيجاد الظل:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

الآن، لنأخذ الدرجة التي حصلنا عليها —${2π}/3$- وأدخله في هذه المعادلة:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

من المفترض أن تكون الآن قادرًا على إيجاد جيب الجيب وجيب التمام بشكل منفصل باستخدام ما حفظته عن دائرة الوحدة. بما أن الزاوية ${2π}/3$ تقع في الربع الثاني، سيكون إحداثي x (أو جيب التمام) سالبًا، وسيكون إحداثي y (أو جيب التمام) موجبًا.

بعد ذلك، يجب أن تكون قادرًا على تحديد الخط الأفقي بناءً على الزاوية وحدها خط قصير، والخط العمودي هو خط طويل. هذا يعني أن جيب التمام يساوي $-1/2$، وجيب التمام يساوي ${√3}/2$.

الآن بعد أن عرفنا هذه القيم، كل ما علينا فعله هو التعويض بها في المعادلة الأولية وإيجاد المماس:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2}$$

$$ an {2π}/3=-√3$$

ماذا بعد؟

إذا كنت ستتقدم لامتحان SAT أو ACT قريبًا، فسوف تحتاج إلى معرفة بعض المثلثات حتى تتمكن من القيام بعمل جيد في قسم الرياضيات. قم بإلقاء نظرة على أدلة الخبراء لدينا لإجراء اختبار SAT وACT حتى تتمكن من معرفة ما تحتاج إلى معرفته بالضبط ليوم الاختبار!

بالإضافة إلى حفظ دائرة الوحدة، إنها فكرة جيدة أن تتعلم كيفية توصيل الأرقام وكيفية توصيل الإجابات. اقرأ أدلةنا لمعرفة كل شيء عن هاتين الاستراتيجيتين المفيدتين، واللتين يمكنك استخدامهما في أي اختبار للرياضيات، بما في ذلك اختبار SAT وACT!