عالم رياضيات مشهور ديمورجان اخترع أهم نظريتين في الجبر البوليني. تُستخدم نظريات ديمورجان للتحقق الرياضي من معادلة بوابات NOR وبوابات AND السالبة وبوابات OR وNAND السالبة. تلعب هذه النظريات دورًا مهمًا في حل تعبيرات الجبر البوليني المختلفة. في الجدول أدناه، يتم تعريف العملية المنطقية لكل مجموعة من متغيرات الإدخال.

يتم إنتاج قواعد نظرية دي مورغان من التعبيرات المنطقية لـ OR و AND وليس باستخدام متغيري الإدخال x و y. تنص النظرية الأولى لديمورجان على أنه إذا قمنا بإجراء عملية AND لمتغيرين مدخلين ثم قمنا بإجراء عملية NOT للنتيجة، فإن النتيجة ستكون نفس عملية OR لمكمل هذا المتغير. تقول النظرية الثانية لـ DeMorgan أنه إذا قمنا بإجراء عملية OR لمتغيرين إدخال ثم قمنا بإجراء عملية OR لا عند تشغيل النتيجة، ستكون النتيجة نفس عملية AND لمكمل هذا المتغير.

نظرية دي مورغان الأولى

وفقا للنظرية الأولى، فإن النتيجة المتممة لعملية AND تساوي العملية OR لمكملة ذلك المتغير. وبالتالي فهي تعادل الدالة NAND وهي دالة سالبة OR تثبت أن (A.B)' = A'+B' ويمكننا إظهار ذلك باستخدام الجدول التالي.

نظرية دي مورغان الثانية

ووفقا للنظرية الثانية، فإن النتيجة المتممة لعملية OR تساوي عملية AND الخاصة بمكملة ذلك المتغير. وبالتالي، فهي تعادل الدالة NOR وهي دالة سالبة AND تثبت أن (A+B)' = A'.B' ويمكننا إظهار ذلك باستخدام جدول الحقيقة التالي.

لنأخذ بعض الأمثلة التي نأخذ فيها بعض التعبيرات ونطبق نظريات ديمورجان.

مثال 1: (أ.ب.ج)'

(أ.ب.ج)'=أ'+ب'+ج'

المثال 2: (أ+ب+ج)'

(أ+ب+ج)'=أ'.ب'.ج

المثال 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'

ولتطبيق نظرية دي مورجان على هذا التعبير، علينا أن نتبع التعبيرات التالية:

1) في التعبير الكامل، أولاً، نجد تلك الحدود التي يمكننا تطبيق نظرية ديمورجان عليها ونتعامل مع كل حد كمتغير واحد.

لذا،

2) بعد ذلك، نطبق نظرية ديمورجان الأولى. لذا،

3) بعد ذلك، نستخدم القاعدة رقم 9، أي (A=(A')') لإلغاء الأشرطة المزدوجة.

4) بعد ذلك، نطبق نظرية ديمورجان الثانية. لذا،

5) قم مرة أخرى بتطبيق القاعدة رقم 9 لإلغاء الشريط المزدوج

والآن، هذا التعبير ليس له حد يمكننا من خلاله تطبيق أي قاعدة أو نظرية. إذن، هذا هو التعبير النهائي.

المثال 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'

مجلس الإنماء والإعمار النموذج الكامل