لنفترض أن هناك عبارات مركبة، X وY، والتي ستُعرف بالتكافؤ المنطقي إذا وفقط إذا كان جدول الحقيقة لكل منهما يحتوي على نفس قيم الحقيقة في أعمدته. بمساعدة الرمز = أو ⇔، يمكننا تمثيل التكافؤ المنطقي. إذن X = Y أو X ⇔ Y سيكون التكافؤ المنطقي لهذه العبارات.
بمساعدة تعريف التكافؤ المنطقي، أوضحنا أنه إذا كانت العبارات المركبة X وY هي تكافؤ منطقي، ففي هذه الحالة، يجب أن تكون X ⇔ Y عبارة عن حشو.
قوانين التكافؤ المنطقي
في هذا القانون سوف نستخدم الرمزين 'AND' و'OR' لشرح قانون التكافؤ المنطقي. هنا، تتم الإشارة إلى AND بمساعدة الرمز ∧، ويُشار إلى OR بمساعدة الرمز ∨. هناك العديد من قوانين التكافؤ المنطقي، والتي يمكن وصفها على النحو التالي:
قانون العاجز:
في القانون العاجز، نستخدم عبارة واحدة فقط. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارتين متماثلتين بالرمز ∧(و) و∨(أو)، فإن العبارة الناتجة ستكون العبارة نفسها. لنفترض أن هناك عبارة مركبة P. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى القانون العاجز:
P ∨ P ? P P ∧ P ? P
يتم وصف جدول الحقيقة لهذا القانون على النحو التالي:
| ص | ص | ف ∨ ص | ف ∧ ص |
|---|---|---|---|
| ت | ت | ت | ت |
| F | F | F | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P وP ∨ P وP ∧ P.
ومن ثم يمكننا القول أن P ∨ P = P و P ∧ P = P.
القوانين التبادلية:
يتم استخدام العبارتين لإظهار القانون التبادلي. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارتين بالرمز ∧(و) أو ∨(أو)، فإن العبارة الناتجة ستكون هي نفسها حتى لو قمنا بتغيير موضع العبارتين. لنفترض أن هناك عبارتين، P وQ. سيكون اقتراح هذه العبارات خاطئًا عندما يكون كلا العبارتين P وQ خاطئين. وفي جميع الحالات الأخرى، سيكون صحيحا. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى القانون التبادلي:
P ∨ Q ? Q ∨ P P ∧ Q ? Q ∧ P
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | س | ف ∨ س | س ∨ ص |
|---|---|---|---|
| ت | ت | ت | ت |
| ت | F | ت | ت |
| F | ت | ت | ت |
| F | F | F | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∨ Q و Q ∨ P.
ومن ثم يمكننا القول أن P ∨ Q ؟ س ∨ ص.
نفس ما يمكننا إثباته P ∧ Q ؟ س ∧ ص.
القانون الترابطي:
وتستخدم البيانات الثلاثة لإظهار القانون النقابي. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج ثلاث عبارات بمساعدة القوسين بالرمز ∧(و) أو ∨(أو)، فإن العبارة الناتجة ستكون هي نفسها حتى لو قمنا بتغيير ترتيب الأقواس. وهذا يعني أن هذا القانون مستقل عن التجمع أو التجمع. لنفترض أن هناك ثلاث عبارات P وQ وR. سيكون اقتراح هذه العبارات خاطئًا عندما تكون P وQ وR خاطئة. وفي جميع الحالات الأخرى، سيكون صحيحا. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى القانون النقابي:
P ∨ (Q ∨ R) ? (P ∨ Q) ∨ R P ∧ (Q ∧ R) ? (P ∧ Q) ∧ R
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | س | ر | ف ∨ س | س ∨ ر | (ف ∨ س) ∨ ر | ف ∨ (س ∨ ر) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ت | ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| ت | ت | F | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | ت | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | F | ت | F | ت | ت |
| F | ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| F | ت | F | ت | ت | ت | ت |
| F | F | ت | F | ت | ت | ت |
| F | F | F | F | F | F | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∨ (Q ∨ R) و (P ∨ Q) ∨ R.
ومن ثم يمكننا القول أن P ∨ (Q ∨ R) ؟ (ف ∨ س) ∨ ر.
نفس ما يمكننا إثباته P ∧ (Q ∧ R) ؟ (ف ∧ س) ∧ ر
قانون التوزيع:
يتم استخدام البيانات الثلاثة لإظهار قانون التوزيع. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارة بالرمز ∨(OR) مع العبارتين الأخريين المرتبطتين بالرمز ∧(AND)، فإن العبارة الناتجة ستكون هي نفسها حتى لو قمنا بدمج العبارات مع الرمز ∧(AND) بشكل منفصل الرمز ∨(OR) ودمج العبارات المرتبطة مع ∧(AND). لنفترض أن هناك ثلاث عبارات P وQ وR. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى قانون التوزيع:
ف ∨ (س ∧ ر) ؟ (ف ∨ س) ∧ (ف ∨ ر)
ف ∧ (س ∨ ر) ؟ (ف ∧ س) ∨ (ف ∧ ر)
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | س | ر | س ∧ ر | ف∨(س ∧R) | ف ∨ س | ف ∨ ر | (ف ∨ س) ∧ (ف ∨ ر) |
| ت | ت | ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| ت | ت | F | F | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | ت | F | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | F | F | ت | ت | ت | ت |
| F | ت | ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| F | ت | F | F | F | ت | F | F |
| F | F | ت | F | F | F | ت | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∨ (Q ∧ R) و (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).
ومن ثم يمكننا القول أن P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
نفس ما يمكننا إثباته P ∧ (Q ∨ R) ؟ (ف ∧ س) ∨ (ف ∧ ر)
قانون الهوية:
يتم استخدام عبارة واحدة لإظهار قانون الهوية. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارة وقيمة حقيقية مع الرمز ∨(or)، فسوف تولد القيمة الحقيقية. إذا قمنا بدمج عبارة وقيمة False مع الرمز ∧(and)، فسيتم إنشاء العبارة نفسها. وبالمثل، سنفعل ذلك مع الرموز المعاكسة. وهذا يعني أنه إذا قمنا بدمج عبارة وقيمة حقيقية مع الرمز ∧(و)، فسوف تولد العبارة نفسها، وإذا قمنا بدمج عبارة وقيمة خاطئة مع الرمز ∨(or)، فسوف تولد العبارة نفسها قيمة خاطئة. لنفترض أن هناك عبارة مركبة P، وقيمة حقيقية T وقيمة خاطئة F. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى قانون الهوية:
P ∨ T ? T and P ∨ F ? P P ∧ T ? P and P ∧ F ? F
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | ت | F | ف ∨ ت | ف ∨ ف |
|---|---|---|---|---|
| ت | ت | F | ت | ت |
| F | ت | F | ت | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في عمودين P ∨ T وT. وبالتالي، يمكننا القول أن P ∨ T = T. وبالمثل، يحتوي هذا الجدول أيضًا على نفس قيم الحقيقة في عمودين P ∨ F وP. يمكننا القول أن P ∨ F = P.
نفس ما يمكننا إثباته P ∧ T ؟ ف و ف ∧ و ؟ F
القانون المكمل:
يتم استخدام عبارة واحدة في القانون المكمل. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارة مع العبارة المكملة لها مع الرمز ∨(or) فإنها ستولد القيمة الحقيقية، وإذا قمنا بدمج هذه العبارات مع الرمز ∧(و) فإنها ستولد القيمة False قيمة. إذا أبطلنا قيمة صحيحة، فستولد قيمة خاطئة، وإذا أبطلنا قيمة خاطئة، فسوف تولد القيمة الحقيقية.
يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى القانون المكمل:
P ∨ ¬P ? T and P ∧ ¬P ? F ¬T ? F and ¬F ? T
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | ¬ص | ت | ¬ت | F | ¬ف | ف ∨ ¬ ص | ف ∧ ¬ص |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ت | F | ت | F | F | ت | ت | F |
| F | ت | ت | F | F | ت | ت | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∨ ¬P و T. وبالتالي، يمكننا القول أن P ∨ ¬P = T. وبالمثل، يحتوي هذا الجدول أيضًا على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∧ ¬P و F. ومن ثم يمكننا القول أن P ∧ ¬P = F.
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في عمودين ¬T وF. وبالتالي يمكننا القول أن ¬T = F. وبالمثل، يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في عمودين ¬F وT. ومن ثم يمكننا القول أن ¬ف = ت.
قانون النفي المزدوج أو قانون الالتفاف
يتم استخدام عبارة واحدة لإظهار قانون النفي المزدوج. ووفقا لهذا القانون، إذا قمنا بنفي عبارة منفية، فإن العبارة الناتجة ستكون العبارة نفسها. لنفترض أن هناك عبارة P وعبارة نفي ¬P. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى قانون النفي المزدوج:
¬(¬P) ? P
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | ¬ص | ¬(¬ع) |
|---|---|---|
| ت | F | ت |
| F | ت | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في العمودين ¬(¬P) وP. ومن ثم يمكننا القول أن ¬(¬P) = P.
من قانون مورغان :
يتم استخدام العبارتين لإظهار قانون دي مورغان. ووفقاً لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارتين بالرمز ∧(AND) ثم قمنا بنفي هذه العبارات المجمعة، فإن العبارة الناتجة ستكون هي نفسها حتى لو قمنا بدمج نفي العبارتين بشكل منفصل مع الرمز ∨( أو). لنفترض أن هناك عبارتين مركبتين، P وQ. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى قانون De Morgan:
¬(P ∧ Q) ? ¬P ∨ ¬Q ¬(P ∨ Q) ? ¬P ∧ ¬Q
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | س | ¬ص | ¬س | ف ∧ س | ¬(ف ∧ س) | ¬ ف ∨ ¬ س |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ت | ت | F | F | ت | F | F |
| ت | F | F | ت | F | ت | ت |
| F | ت | ت | F | F | ت | ت |
| F | F | ت | ت | F | ت | ت |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة ¬(P ∧ Q) و ¬ P ∨ ¬Q. ومن ثم يمكننا القول أن ¬(P ∧ Q) = ¬ P ∨ ¬Q.
نفس ما يمكننا إثباته ¬(P ∨ Q) ؟ ¬ف ∧ ¬س
قانون الامتصاص:
يتم استخدام العبارتين لإظهار قانون الامتصاص. وفقًا لهذا القانون، إذا قمنا بدمج عبارة P بواسطة رمز ∨(OR) مع نفس العبارة P وعبارة أخرى Q، والتي تم ربطها بالرمز ∧(AND)، فإن العبارة الناتجة ستكون العبارة الأولى P. سيتم إنشاء نفس النتيجة إذا قمنا بتبادل الرموز. لنفترض أن هناك عبارتين مركبتين، P وQ. يتم استخدام الترميز التالي للإشارة إلى قانون الامتصاص:
P ∨ (P ∧ Q) ? P P ∧ (P ∨ Q) ? P
يتم وصف جدول الحقيقة لهذه الرموز على النحو التالي:
| ص | س | ف ∧ س | ف ∨ س | ف ∨ (ف ∧ س) | ف ∧ (ف ∨ س) |
|---|---|---|---|---|---|
| ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | F | ت | ت | ت |
| F | ت | F | ت | F | F |
| F | F | F | F | F | F |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∨ (P ∧ Q) و P. ومن ثم يمكننا القول أن P ∨ (P ∧ Q) ؟ ص.
وبالمثل، يحتوي هذا الجدول أيضًا على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ∧ (P ∨ Q) و P. ومن ثم يمكننا القول أن P ∧ (P ∨ Q) ؟ ص.
أمثلة على التكافؤ المنطقي
هناك أمثلة مختلفة على التكافؤ المنطقي. يتم وصف بعضها على النحو التالي:
مثال 1: في هذا المثال، سوف نقوم بإنشاء خاصية التكافؤ لعبارة، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
ع → ف ؟ ¬ص ∨ ف
حل:
وسنثبت ذلك بالاستعانة بجدول الحقيقة، وهو كما يلي:
| ص | س | ¬ص | ع → ف | ¬ص ∨ ف |
| ت | ت | F | ت | ت |
| ت | F | F | F | F |
| F | ت | ت | ت | ت |
| F | F | ت | ت | ت |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة p → q و ¬p ∨ q. ومن ثم يمكننا القول أن p → q ؟ ¬ص ∨ ف.
مثال 2: في هذا المثال، سوف نقوم بإنشاء خاصية التكافؤ لعبارة، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
ف ↔ س ؟ ( ف → س ) ∧ ( س → ف )
حل:
| ص | س | ف → س | س → ص | ف ↔ س | ( ف → س ) ∧ ( س → ف ) |
| ت | ت | ت | ت | ت | ت |
| ت | F | F | ت | F | F |
| F | ت | ت | F | F | F |
| F | F | ت | ت | ت | ت |
يحتوي هذا الجدول على نفس قيم الحقيقة في أعمدة P ↔ Q و (P → Q) ∧ (Q → P). ومن ثم يمكننا القول أن P ↔ Q ؟ (ف → س) ∧ (س → ف).
مثال 3: في هذا المثال، سوف نستخدم الخاصية المكافئة لإثبات العبارة التالية:
ع ↔ ف ؟ ( ص ∧ ف ) ∨ ( ¬ ص ∧ ¬q )
حل:
جافا فرز قائمة الصفيف
ولإثبات ذلك سنستخدم بعض القوانين المذكورة أعلاه ومن هذا القانون لدينا:
ص ↔ ف ؟ (¬ص ∨ ف) ∧ (¬ف ∨ ع) ...........(1)
الآن سوف نستخدم القانون التبادلي في المعادلة أعلاه ونحصل على ما يلي:
؟ (ص ∨ ف) ∧ (ص ∨ ¬ف)
الآن سوف نستخدم قانون التوزيع في هذه المعادلة ونحصل على ما يلي:
؟ (¬ ص ∧ (ص ∨ ¬q)) ∨ (ف ∧ (ص ∨ ¬q))
الآن سوف نستخدم قانون التوزيع في هذه المعادلة ونحصل على ما يلي:
؟ (ص ∧ ع) ∨ (ص ∧ ¬q) ∨ (ف ∧ ص) ∨ (ف ∧ ¬q)
الآن سوف نستخدم القانون المكمل في هذه المعادلة ونحصل على ما يلي:
؟ F ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ p) ∨ F
الآن سوف نستخدم قانون الهوية ونحصل على ما يلي:
؟ (¬ ع ∧ ¬ ف) ∨ (ف ∧ ص)
الآن سوف نستخدم القانون التبادلي في هذه المعادلة ونحصل على ما يلي:
؟ (ص ∧ ف) ∨ (¬ ص ¬ف)
وأخيرًا تصبح المعادلة (1) كما يلي:
ص ↔ ف ؟ (ص ∧ ف) ∨ (¬ ص ¬ف)
وأخيرا يمكننا القول أن المعادلة (1) تصبح p ↔ q ؟ (ص ∧ ف) ∨ (¬ ص ∧ ¬q)