يعتبر التسلسل {X1 X2 .. Xn} متوالية متناوبة إذا حققت عناصره إحدى العلاقات التالية :
X1< X2 >X3< X4 >X5< …. xn or
×1> ×2< X3 >X4< X5 >…. xn
أمثلة:
الممارسة الموصى بها أطول تسلسل لاحق جربه!مدخل: آر[] = {1 5 4}
الإخراج: 3
توضيح: المصفوفات بأكملها بالصيغة x1< x2 >×3مدخل: آر[] = {10 22 9 33 49 50 31 60}
الإخراج: 6
توضيح: التتابعات {10 22 9 33 31 60} أو
{10 22 9 49 31 60} أو {10 22 9 50 31 60}
هي أطول متتالية من الطول 6
ملحوظة: هذه المشكلة هي امتداد لل أطول مشكلة لاحقة متزايدة ولكنه يتطلب المزيد من التفكير للعثور على خاصية البنية التحتية المثالية في هذا الشأن
أطول متتالية لاحقة باستخدام البرمجة الديناميكية :
لحل المشكلة اتبع الفكرة التالية:
سوف نقوم بحل هذه المشكلة عن طريق طريقة البرمجة الديناميكية لأنها تحتوي على بنية أساسية مثالية ومشاكل فرعية متداخلة
طبقة الشبكة في شبكات الكمبيوتر
اتبع الخطوات التالية لحل المشكلة:
- دع A يُعطى مصفوفة بطول N
- نحدد مصفوفة ثنائية الأبعاد las[n][2] بحيث تحتوي las[i][0] على أطول تسلسل فرعي متناوب ينتهي عند الفهرس i والعنصر الأخير أكبر من العنصر السابق له
- las[i][1] يحتوي على أطول تسلسل فرعي متناوب ينتهي عند الفهرس i والعنصر الأخير أصغر من العنصر السابق له، فلدينا علاقة التكرار التالية بينهما
لاس[i][0] = طول أطول متتالية لاحقة
تنتهي عند الفهرس i والعنصر الأخير أكبر
من عنصره السابق[i] [1] = طول أطول متتالية لاحقة
تنتهي عند الفهرس i والعنصر الأخير أصغر
من عنصره السابقصياغة العودية:
الباندا تذوبlas[i][0] = max (las[i][0] las[j][1] + 1);
للجميع ي< i and A[j] < A[i]las[i][1] = max (las[i][1] las[j][0] + 1);
للجميع ي< i and A[j] >أ[i]
- تعتمد علاقة التكرار الأولى على حقيقة أنه إذا كنا في الموضع i ويجب أن يكون هذا العنصر أكبر من العنصر السابق، فمن أجل أن يكون هذا التسلسل (حتى i) أكبر سنحاول اختيار عنصر j (< i) such that A[j] < A[i] i.e. A[j] can become A[i]’s previous element and las[j][1] + 1 is bigger than las[i][0] then we will update las[i][0].
- تذكر أننا اخترنا las[j][1] + 1 not las[j][0] + 1 لتلبية الخاصية البديلة لأنه في las[j][0] العنصر الأخير أكبر من العنصر السابق وA[i] أكبر من A[j] مما سيؤدي إلى كسر الخاصية البديلة إذا قمنا بالتحديث. لذا فإن الحقيقة المذكورة أعلاه تستمد علاقة التكرار الأولى، ويمكن تقديم حجة مماثلة لعلاقة التكرار الثانية أيضًا.
وفيما يلي تنفيذ النهج المذكور أعلاه:
C++// C++ program to find longest alternating // subsequence in an array #include using namespace std; // Function to return max of two numbers int max(int a int b) { return (a > b) ? a : b; } // Function to return longest alternating // subsequence length int zzis(int arr[] int n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ int las[n][2]; // Initialize all values from 1 for (int i = 0; i < n; i++) las[i][0] = las[i][1] = 1; // Initialize result int res = 1; // Compute values in bottom up manner for (int i = 1; i < n; i++) { // Consider all elements as // previous of arr[i] for (int j = 0; j < i; j++) { // If arr[i] is greater then // check with las[j][1] if (arr[j] < arr[i] && las[i][0] < las[j][1] + 1) las[i][0] = las[j][1] + 1; // If arr[i] is smaller then // check with las[j][0] if (arr[j] > arr[i] && las[i][1] < las[j][0] + 1) las[i][1] = las[j][0] + 1; } // Pick maximum of both values at index i if (res < max(las[i][0] las[i][1])) res = max(las[i][0] las[i][1]); } return res; } // Driver code int main() { int arr[] = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); cout << 'Length of Longest alternating ' << 'subsequence is ' << zzis(arr n); return 0; } // This code is contributed by shivanisinghss2110
C // C program to find longest alternating subsequence in // an array #include #include // function to return max of two numbers int max(int a int b) { return (a > b) ? a : b; } // Function to return longest alternating subsequence length int zzis(int arr[] int n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ int las[n][2]; /* Initialize all values from 1 */ for (int i = 0; i < n; i++) las[i][0] = las[i][1] = 1; int res = 1; // Initialize result /* Compute values in bottom up manner */ for (int i = 1; i < n; i++) { // Consider all elements as previous of arr[i] for (int j = 0; j < i; j++) { // If arr[i] is greater then check with // las[j][1] if (arr[j] < arr[i] && las[i][0] < las[j][1] + 1) las[i][0] = las[j][1] + 1; // If arr[i] is smaller then check with // las[j][0] if (arr[j] > arr[i] && las[i][1] < las[j][0] + 1) las[i][1] = las[j][0] + 1; } /* Pick maximum of both values at index i */ if (res < max(las[i][0] las[i][1])) res = max(las[i][0] las[i][1]); } return res; } /* Driver code */ int main() { int arr[] = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); printf( 'Length of Longest alternating subsequence is %dn' zzis(arr n)); return 0; }
Java // Java program to find longest // alternating subsequence in an array import java.io.*; class GFG { // Function to return longest // alternating subsequence length static int zzis(int arr[] int n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ int las[][] = new int[n][2]; /* Initialize all values from 1 */ for (int i = 0; i < n; i++) las[i][0] = las[i][1] = 1; int res = 1; // Initialize result /* Compute values in bottom up manner */ for (int i = 1; i < n; i++) { // Consider all elements as // previous of arr[i] for (int j = 0; j < i; j++) { // If arr[i] is greater then // check with las[j][1] if (arr[j] < arr[i] && las[i][0] < las[j][1] + 1) las[i][0] = las[j][1] + 1; // If arr[i] is smaller then // check with las[j][0] if (arr[j] > arr[i] && las[i][1] < las[j][0] + 1) las[i][1] = las[j][0] + 1; } /* Pick maximum of both values at index i */ if (res < Math.max(las[i][0] las[i][1])) res = Math.max(las[i][0] las[i][1]); } return res; } /* Driver code*/ public static void main(String[] args) { int arr[] = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = arr.length; System.out.println('Length of Longest ' + 'alternating subsequence is ' + zzis(arr n)); } } // This code is contributed by Prerna Saini
Python3 # Python3 program to find longest # alternating subsequence in an array # Function to return max of two numbers def Max(a b): if a > b: return a else: return b # Function to return longest alternating # subsequence length def zzis(arr n): '''las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element''' las = [[0 for i in range(2)] for j in range(n)] # Initialize all values from 1 for i in range(n): las[i][0] las[i][1] = 1 1 # Initialize result res = 1 # Compute values in bottom up manner for i in range(1 n): # Consider all elements as # previous of arr[i] for j in range(0 i): # If arr[i] is greater then # check with las[j][1] if (arr[j] < arr[i] and las[i][0] < las[j][1] + 1): las[i][0] = las[j][1] + 1 # If arr[i] is smaller then # check with las[j][0] if(arr[j] > arr[i] and las[i][1] < las[j][0] + 1): las[i][1] = las[j][0] + 1 # Pick maximum of both values at index i if (res < max(las[i][0] las[i][1])): res = max(las[i][0] las[i][1]) return res # Driver Code arr = [10 22 9 33 49 50 31 60] n = len(arr) print('Length of Longest alternating subsequence is' zzis(arr n)) # This code is contributed by divyesh072019
C# // C# program to find longest // alternating subsequence // in an array using System; class GFG { // Function to return longest // alternating subsequence length static int zzis(int[] arr int n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ int[ ] las = new int[n 2]; /* Initialize all values from 1 */ for (int i = 0; i < n; i++) las[i 0] = las[i 1] = 1; // Initialize result int res = 1; /* Compute values in bottom up manner */ for (int i = 1; i < n; i++) { // Consider all elements as // previous of arr[i] for (int j = 0; j < i; j++) { // If arr[i] is greater then // check with las[j][1] if (arr[j] < arr[i] && las[i 0] < las[j 1] + 1) las[i 0] = las[j 1] + 1; // If arr[i] is smaller then // check with las[j][0] if (arr[j] > arr[i] && las[i 1] < las[j 0] + 1) las[i 1] = las[j 0] + 1; } /* Pick maximum of both values at index i */ if (res < Math.Max(las[i 0] las[i 1])) res = Math.Max(las[i 0] las[i 1]); } return res; } // Driver Code public static void Main() { int[] arr = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = arr.Length; Console.WriteLine('Length of Longest ' + 'alternating subsequence is ' + zzis(arr n)); } } // This code is contributed by anuj_67.
PHP // PHP program to find longest // alternating subsequence in // an array // Function to return longest // alternating subsequence length function zzis($arr $n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ $las = array(array()); /* Initialize all values from 1 */ for ( $i = 0; $i < $n; $i++) $las[$i][0] = $las[$i][1] = 1; $res = 1; // Initialize result /* Compute values in bottom up manner */ for ( $i = 1; $i < $n; $i++) { // Consider all elements // as previous of arr[i] for ($j = 0; $j < $i; $j++) { // If arr[i] is greater then // check with las[j][1] if ($arr[$j] < $arr[$i] and $las[$i][0] < $las[$j][1] + 1) $las[$i][0] = $las[$j][1] + 1; // If arr[i] is smaller then // check with las[j][0] if($arr[$j] > $arr[$i] and $las[$i][1] < $las[$j][0] + 1) $las[$i][1] = $las[$j][0] + 1; } /* Pick maximum of both values at index i */ if ($res < max($las[$i][0] $las[$i][1])) $res = max($las[$i][0] $las[$i][1]); } return $res; } // Driver Code $arr = array(10 22 9 33 49 50 31 60 ); $n = count($arr); echo 'Length of Longest alternating ' . 'subsequence is ' zzis($arr $n) ; // This code is contributed by anuj_67. ?> JavaScript <script> // Javascript program to find longest // alternating subsequence in an array // Function to return longest // alternating subsequence length function zzis(arr n) { /*las[i][0] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is greater than its previous element las[i][1] = Length of the longest alternating subsequence ending at index i and last element is smaller than its previous element */ let las = new Array(n); for (let i = 0; i < n; i++) { las[i] = new Array(2); for (let j = 0; j < 2; j++) { las[i][j] = 0; } } /* Initialize all values from 1 */ for (let i = 0; i < n; i++) las[i][0] = las[i][1] = 1; let res = 1; // Initialize result /* Compute values in bottom up manner */ for (let i = 1; i < n; i++) { // Consider all elements as // previous of arr[i] for (let j = 0; j < i; j++) { // If arr[i] is greater then // check with las[j][1] if (arr[j] < arr[i] && las[i][0] < las[j][1] + 1) las[i][0] = las[j][1] + 1; // If arr[i] is smaller then // check with las[j][0] if( arr[j] > arr[i] && las[i][1] < las[j][0] + 1) las[i][1] = las[j][0] + 1; } /* Pick maximum of both values at index i */ if (res < Math.max(las[i][0] las[i][1])) res = Math.max(las[i][0] las[i][1]); } return res; } let arr = [ 10 22 9 33 49 50 31 60 ]; let n = arr.length; document.write('Length of Longest '+ 'alternating subsequence is ' + zzis(arr n)); // This code is contributed by rameshtravel07. </script>
الإخراج
Length of Longest alternating subsequence is 6
تعقيد الوقت: على2)
المساحة المساعدة: O(N) منذ أن تم أخذ مساحة إضافية
النهج الفعال: لحل المشكلة اتبع الفكرة التالية:
في الطريقة المذكورة أعلاه، نقوم في أي لحظة بتتبع قيمتين (طول أطول تسلسل فرعي متناوب ينتهي عند الفهرس i والعنصر الأخير أصغر من العنصر السابق أو أكبر منه) لكل عنصر في المصفوفة. لتحسين المساحة، نحتاج فقط إلى تخزين متغيرين للعنصر في أي فهرس
inc = طول أطول تسلسل بديل حتى الآن حيث تكون القيمة الحالية أكبر من قيمتها السابقة.
dec = طول أطول تسلسل بديل حتى الآن مع كون القيمة الحالية أصغر من قيمتها السابقة.
الجزء الصعب من هذا النهج هو تحديث هاتين القيمتين.يجب زيادة 'inc' إذا وفقط إذا كان العنصر الأخير في التسلسل البديل أصغر من العنصر السابق.
يجب زيادة "dec" فقط إذا كان العنصر الأخير في التسلسل البديل أكبر من العنصر السابق.
اتبع الخطوات التالية لحل المشكلة:
أول كمبيوتر محمول
- أعلن أن عددين صحيحين inc وdec يساويان واحدًا
- تشغيل حلقة لـ i [1 N-1]
- إذا كان arr[i] أكبر من العنصر السابق، فاضبط inc يساوي dec + 1
- وإلا، إذا كان arr[i] أصغر من العنصر السابق، فاضبط dec على inc + 1
- إرجاع الحد الأقصى من Inc و Dec
وفيما يلي تنفيذ النهج المذكور أعلاه:
C++// C++ program for above approach #include using namespace std; // Function for finding // longest alternating // subsequence int LAS(int arr[] int n) { // 'inc' and 'dec' initialized as 1 // as single element is still LAS int inc = 1; int dec = 1; // Iterate from second element for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] > arr[i - 1]) { // 'inc' changes if 'dec' // changes inc = dec + 1; } else if (arr[i] < arr[i - 1]) { // 'dec' changes if 'inc' // changes dec = inc + 1; } } // Return the maximum length return max(inc dec); } // Driver Code int main() { int arr[] = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]); // Function Call cout << LAS(arr n) << endl; return 0; }
Java // Java Program for above approach public class GFG { // Function for finding // longest alternating // subsequence static int LAS(int[] arr int n) { // 'inc' and 'dec' initialized as 1 // as single element is still LAS int inc = 1; int dec = 1; // Iterate from second element for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] > arr[i - 1]) { // 'inc' changes if 'dec' // changes inc = dec + 1; } else if (arr[i] < arr[i - 1]) { // 'dec' changes if 'inc' // changes dec = inc + 1; } } // Return the maximum length return Math.max(inc dec); } // Driver Code public static void main(String[] args) { int[] arr = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = arr.length; // Function Call System.out.println(LAS(arr n)); } }
Python3 # Python3 program for above approach def LAS(arr n): # 'inc' and 'dec' initialized as 1 # as single element is still LAS inc = 1 dec = 1 # Iterate from second element for i in range(1 n): if (arr[i] > arr[i-1]): # 'inc' changes if 'dec' # changes inc = dec + 1 elif (arr[i] < arr[i-1]): # 'dec' changes if 'inc' # changes dec = inc + 1 # Return the maximum length return max(inc dec) # Driver Code if __name__ == '__main__': arr = [10 22 9 33 49 50 31 60] n = len(arr) # Function Call print(LAS(arr n))
C# // C# program for above approach using System; class GFG { // Function for finding // longest alternating // subsequence static int LAS(int[] arr int n) { // 'inc' and 'dec' initialized as 1 // as single element is still LAS int inc = 1; int dec = 1; // Iterate from second element for (int i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] > arr[i - 1]) { // 'inc' changes if 'dec' // changes inc = dec + 1; } else if (arr[i] < arr[i - 1]) { // 'dec' changes if 'inc' // changes dec = inc + 1; } } // Return the maximum length return Math.Max(inc dec); } // Driver code static void Main() { int[] arr = { 10 22 9 33 49 50 31 60 }; int n = arr.Length; // Function Call Console.WriteLine(LAS(arr n)); } } // This code is contributed by divyeshrabadiya07
JavaScript <script> // Javascript program for above approach // Function for finding // longest alternating // subsequence function LAS(arr n) { // 'inc' and 'dec' initialized as 1 // as single element is still LAS let inc = 1; let dec = 1; // Iterate from second element for (let i = 1; i < n; i++) { if (arr[i] > arr[i - 1]) { // 'inc' changes if 'dec' // changes inc = dec + 1; } else if (arr[i] < arr[i - 1]) { // 'dec' changes if 'inc' // changes dec = inc + 1; } } // Return the maximum length return Math.max(inc dec); } let arr = [ 10 22 9 33 49 50 31 60 ]; let n = arr.length; // Function Call document.write(LAS(arr n)); // This code is contributed by mukesh07. </script>
الإخراج:
6
تعقيد الوقت: على)
المساحة المساعدة: يا(1)
إنشاء اختبار