TechCodeview

الدالة العودية هي دالة يمكن حساب قيمتها عند أي نقطة من قيم الدالة في بعض النقاط السابقة. على سبيل المثال، لنفترض أن الدالة f(k) = f(k-2) + f(k-3) محددة على عدد صحيح غير سالب. إذا كانت لدينا قيمة الدالة عند k = 0 وk = 2، فيمكننا أيضًا إيجاد قيمتها عند أي عدد صحيح آخر غير سالب. بمعنى آخر، يمكننا القول أن الدالة العودية تشير إلى دالة تستخدم نقاطها السابقة لتحديد الحدود اللاحقة وبالتالي تشكل تسلسلًا للحدود. في هذه المقالة، سوف نتعرف على الدوال العودية مع بعض الأمثلة.

ما هو العودية؟

يشير العودية إلى عملية تقوم فيها العملية العودية بتكرار نفسها. العودية هي نوع من الوظائف التي تحتوي على متغير واحد أو أكثر، وعادة ما يتم تحديدها من خلال عملية معينة تنتج قيم تلك الوظيفة من خلال التنفيذ المستمر لعلاقة معينة بالقيم المعروفة للدالة.

هنا سوف نفهم التكرار بمساعدة مثال.

لنفترض أنك ستصعد سلمًا للوصول إلى الطابق الأول من الطابق الأرضي. لذلك، للقيام بذلك، عليك أن تأخذ خطوة بخطوة. لا يوجد سوى طريقة للذهاب إلى الخطوة الثانية وهي الخطوة الأولى الغارقة. لنفترض أنك تريد الانتقال إلى الخطوة الثالثة؛ عليك أن تأخذ الخطوة الثانية أولا. هنا يمكنك أن ترى بوضوح عملية التكرار. هنا، يمكنك أن ترى أنه مع كل خطوة تالية، فإنك تضيف الخطوة السابقة كتسلسل متكرر مع نفس الفرق بين كل خطوة. هذا هو المفهوم الفعلي وراء الدالة العودية.

الخطوة 2: الخطوة 1 + أدنى خطوة.

الخطوه 3: الخطوة 2 + الخطوة 1 + أدنى خطوة.

الخطوة 4: الخطوة 3 + الخطوة 2 + الخطوة 1 + أدنى خطوة، وهكذا.

مجموعة الأعداد الطبيعية هي المثال الأساسي للدوال العودية التي تبدأ من واحد حتى ما لا نهاية، 1،2،3،4،5،6،7،8، 9،…….مصدر. لذلك، تظهر مجموعة الأعداد الطبيعية دالة عودية لأنه يمكنك رؤية الفرق المشترك بين كل حد وهو 1؛ يظهر في كل مرة يتكرر فيها الحد التالي مع الحد السابق.

ما هي وظيفة محددة بشكل متكرر؟

تتكون الوظائف المحددة بشكل متكرر من جزأين. يتناول الجزء الأول تعريف الحجة الأصغر، ومن ناحية أخرى، يتناول الجزء الثاني تعريف الحد النوني. تتم الإشارة إلى الوسيطة الأصغر بواسطة f (0) أو f (1)، بينما تتم الإشارة إلى الوسيطة n بواسطة f (n).

اتبع المثال المعطى.

لنفترض أن التسلسل هو 4،6،8،10

الصيغة الصريحة للتسلسل أعلاه هي f (n)= 2n + 2

يتم إعطاء الصيغة الصريحة للتسلسل أعلاه بواسطة

حرف جافا إلى السلسلة

و (0) = 2

و(ن) = و (ن-1) + 2

الآن، يمكننا الحصول على حدود التسلسل بتطبيق الصيغة العودية كما يلي f(2 ) f (1) + 2

و(2) = 6

و (0) = 2

و(1) = و(0) + 2

و (1) = 2 + 2 = 4

و(2) = و (1) + 2

و(2) = 4 + 2 = 6

و(3) = و (2) + 2

و(3 ) = 6 + 2 = 8

بمساعدة صيغة الدالة العودية المذكورة أعلاه، يمكننا تحديد الحد التالي.

ما الذي يجعل الدالة متكررة؟

إن جعل أي دالة متكررة يحتاج إلى حد خاص بها لحساب الحد التالي في التسلسل. على سبيل المثال، إذا كنت تريد حساب الحد النوني للتسلسل المحدد، فأنت بحاجة أولاً إلى معرفة الحد السابق والحد الذي يسبق الحد السابق. ومن ثم، فأنت بحاجة إلى معرفة المصطلح السابق لمعرفة ما إذا كان التسلسل عوديًا أم لا. لذا يمكننا أن نستنتج أنه إذا كانت الدالة تحتاج إلى الحد السابق لتحديد الحد التالي في المتتابعة، فإن الدالة تعتبر دالة عودية.

صيغة الدالة العودية

اذا كان₁، أ₂، أ₃، أ₄، أ₅، أ₆، ……..أ_ن،…… عبارة عن عدة مجموعات أو تسلسل، فستحتاج الصيغة العودية إلى حساب جميع المصطلحات الموجودة مسبقًا لحساب قيمة

أ_ن= أ_{ن-1 +}أ₁

يمكن أيضًا تعريف الصيغة المذكورة أعلاه على أنها صيغة متكررة للتسلسل الحسابي. وتلاحظ بوضوح في المتتابعة المذكورة أعلاه أنها متتابعة حسابية، تتكون من الحد الأول يليه الحدود الأخرى وفرق مشترك بين كل حد. ويشير الفرق المشترك إلى رقم تضيفه أو تطرحه منه.

يمكن أيضًا تعريف الدالة العودية على أنها تسلسل هندسي، حيث يكون لمجموعات الأرقام أو التسلسل عامل مشترك أو نسبة مشتركة بينهما. يتم إعطاء صيغة التسلسل الهندسي كـ

أ_ن= أ_{ن-1 *}ص

عادة، يتم تعريف الدالة العودية في جزأين. الأول هو بيان الحد الأول مع الصيغة، والآخر هو بيان الحد الأول مع القاعدة المتعلقة بالحدود المتتابعة.

كيفية كتابة صيغة العودية للتسلسل الحسابي

لكتابة الصيغة العودية لصيغة التسلسل الحسابي، اتبع الخطوات المذكورة

الخطوة 1:

في الخطوة الأولى، عليك التأكد مما إذا كان التسلسل المحدد حسابيًا أم لا (لهذا، تحتاج إلى إضافة أو طرح حدين متتاليين). إذا حصلت على نفس الناتج، فسيتم اعتبار التسلسل بمثابة تسلسل حسابي.

الخطوة 2:

الآن، أنت بحاجة إلى إيجاد الفرق المشترك للتسلسل المحدد.

الخطوه 3:

قم بصياغة الصيغة العودية باستخدام الحد الأول ثم قم بإنشاء الصيغة باستخدام الحد السابق والفرق المشترك؛ وبالتالي سوف تحصل على النتيجة المعطاة

أ_ن= أ_{ن-1 +}د

الآن، نحن نفهم الصيغة المعطاة بمساعدة مثال

لنفترض أن 3،5،7،9،11 هو تسلسل معين

في المثال أعلاه، يمكنك بسهولة العثور على المتتابعة الحسابية لأن كل حد في المتتابعة يزيد بمقدار 2. لذا، فإن الفرق المشترك بين حدين هو 2. نحن نعرف صيغة التسلسل العودي

أ_ن= أ_{ن-1 +}د

منح،

د = 2

أ₁= 3

لذا،

حلقة برنامج جافا

أ₂= أ_(2-1)+ 2 = أ₁+2 = 3+2 = 5

أ₃= أ_(3-1)+ 2 = أ₂+2 = 5+2 = 7

أ₄= أ_(4-1)+ 2 = أ₃+2 = 7+2 = 9

أ₅= أ_(5-1)+ 2 = أ + 2 = 9+2 = 11، وتستمر العملية.

كيفية كتابة صيغة العودية للتسلسل الهندسي؟

لكتابة الصيغة العودية لصيغة التسلسل الهندسي، اتبع الخطوات المذكورة:

الخطوة 1

في الخطوة الأولى، عليك التأكد مما إذا كان التسلسل المحدد هندسيًا أم لا (لهذا، تحتاج إلى ضرب أو قسمة كل حد على رقم). إذا حصلت على نفس الناتج من حد إلى الحد التالي، فسيتم اعتبار التسلسل بمثابة تسلسل هندسي.

الخطوة 2

الآن، أنت بحاجة إلى إيجاد النسبة المشتركة للتسلسل المحدد.

الخطوه 3

قم بصياغة الصيغة العودية باستخدام الحد الأول ثم قم بإنشاء الصيغة باستخدام الحد السابق والنسبة المشتركة؛ وبالتالي سوف تحصل على النتيجة المعطاة

أ_ن= ص_*أ_ن-1

الآن، نحن نفهم الصيغة المعطاة بمساعدة مثال

لنفترض أن 2،8،32، 128، هو تسلسل معين

في المثال أعلاه، يمكنك بسهولة العثور على المتتابعة الهندسية لأنه يتم الحصول على الحد التالي في التسلسل بضرب 4 في الحد السابق. إذن، النسبة المشتركة بين حدين هي 4. نحن نعرف صيغة التسلسل العودي

أ_ن= ص_*أ_ن-1

أ_ن= 4

أ_ن-1= ؟

منح،

ص = 4

أ₁= 2

لذا،

أ₂= أ_(2-1)* 4 = أ₁+ * 4 = 2* 4 = 8

أ₃= أ_(3-1)* 4 = أ₂* 4 = 8 * 4 = 32

أ₄= أ_(4-1)* 4 = أ₃*4 = 32* 4 = 128، وتستمر العملية.

مثال على وظيفة العودية

مثال 1:

تحديد الصيغة العودية للتسلسل 4،8،16،32،64، 128،....؟

حل:

نظرا للتسلسل 4،8،16،32،64،128، .....

المتتابعة المعطاة هندسية لأننا إذا ضربنا الحد السابق، نحصل على الحدود المتعاقبة.

لتحديد الصيغة العودية للتسلسل المحدد، نحتاج إلى كتابتها في شكل جدول

ومن ثم، يتم إعطاء الصيغة العودية في مفهوم الوظيفة بواسطة

و(1) = 4, و(ن) . و (ن - 1)

في التدوين المنخفض، يتم إعطاء الصيغة العودية بواسطة

أ₁= 4، أ_ن= 2. أ_ن-1