يمكن وصف الرسم البياني المتماثل بأنه رسم بياني يمكن أن يحتوي فيه الرسم البياني الواحد على أكثر من شكل واحد. وهذا يعني أن رسمين بيانيين مختلفين يمكن أن يكون لهما نفس عدد الحواف والقمم ونفس اتصال الحواف. تُعرف هذه الأنواع من الرسوم البيانية باسم الرسوم البيانية المتماثلة. يتم وصف مثال الرسم البياني التماثل على النحو التالي:
يحتوي الرسم البياني أعلاه على الأشياء التالية:
- يتم تمثيل نفس الرسم البياني في أكثر من شكل.
- ومن ثم، يمكننا القول أن هذه الرسوم البيانية هي الرسوم البيانية التماثلية.
شروط التماثل الرسمى
يُعرف أي رسمين بيانيين بالتماثل إذا استوفيا الشروط الأربعة التالية:
- سيكون هناك عدد متساو من القمم في الرسوم البيانية المعطاة.
- سيكون هناك عدد متساو من الحواف في الرسوم البيانية المحددة.
- سيكون هناك قدر متساوٍ من تسلسل الدرجات في الرسوم البيانية المحددة.
- إذا كان الرسم البياني الأول يشكل دورة بطول k بمساعدة القمم {v1، v2، v3، …. vk}، فيجب أيضًا أن يشكل رسم بياني آخر نفس الدورة بنفس الطول k بمساعدة القمم {v1، v2، v3، …. فك}.
ملاحظة: يمكن وصف تسلسل درجات الرسم البياني على أنه تسلسل درجات جميع القمم بترتيب تصاعدي.
نقاط مهمة
- لكي يكون أي رسمين بيانيين متماثلين، فإن الشروط اللازمة هي الشروط الأربعة المحددة أعلاه.
- ليس من الضروري أن تكون الشروط المحددة أعلاه كافية لإظهار أن الرسوم البيانية المعطاة متماثلة.
- إذا كان هناك رسمان بيانيان يستوفيان الشروط الأربعة المحددة أعلاه، حتى في هذه الحالة، فليس من الضروري أن تكون الرسوم البيانية متماثلة بالتأكيد.
- إذا فشل الرسم البياني في تلبية أي شروط، فيمكننا القول أن الرسوم البيانية ليست بالتأكيد تماثلًا.
الشروط الكافية لتماثل الرسم البياني
إذا أردنا إثبات أن أي رسمين بيانيين متماثلان، فهناك بعض الشروط الكافية التي سنوفرها لنا لضمان أن الرسمين البيانيين متماثلان بالتأكيد. عندما يتم مسح الرسوم البيانية بنجاح جميع الشروط الأربعة المذكورة أعلاه، عندها فقط سوف نقوم بفحص تلك الرسوم البيانية إلى الشروط الكافية، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
- إذا كانت الرسوم البيانية المكملة لكلا الرسمين البيانيين متماثلة، فمن المؤكد أن هذه الرسوم البيانية ستكون متماثلة.
- إذا كانت المصفوفات المتجاورة لكلا الرسمين البيانيين هي نفسها، فستكون هذه الرسوم البيانية متماثلة.
- إذا تم الحصول على الرسوم البيانية المقابلة لرسمين بيانيين عن طريق حذف بعض القمم من رسم بياني واحد، وكانت صورها المقابلة في صور أخرى متماثلة، عندها فقط لن تكون هذه الرسوم البيانية متماثلة.
عندما يستوفي رسمان بيانيان أيًا من الشروط المذكورة أعلاه، فيمكننا القول أن هذين الرسمين البيانيين هما بالتأكيد تشابه.
أمثلة على تماثل الرسم البياني
هناك الكثير من الأمثلة على التماثل البياني، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
مثال 1:
في هذا المثال، أظهرنا ما إذا كانت الرسوم البيانية التالية هي التماثل.
الرياضيات العشوائية جافا
حل: لهذا، سوف نتحقق من جميع الشروط الأربعة للتماثل البياني، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
الحالة 1:
- في الرسم البياني 1، هناك إجمالي 4 عدد من القمم، أي G1 = 4.
- في الرسم البياني 2، هناك إجمالي 4 عدد من القمم، أي G2 = 4.
هنا،
يوجد عدد متساوٍ من القمم في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 1. الآن سوف نتحقق من الشرط الثاني.
الحالة 2:
- في الرسم البياني 1، يوجد إجمالي 5 حواف، أي G1 = 5.
- في الرسم البياني 2، يوجد إجمالي 6 حواف، أي G2 = 6.
هنا،
لا يوجد عدد متساوٍ من الحواف في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. لذا فإن هذه الرسوم البيانية لا تستوفي الشرط 2. والآن لا يمكننا التحقق من جميع الشروط المتبقية.
نظرًا لأن هذه الرسوم البيانية تنتهك الشرط 2. لذا فإن هذه الرسوم البيانية ليست تماثلًا.
∴ الرسم البياني G1 والرسم البياني G2 ليسا رسومًا بيانية متماثلة.
مثال 2:
في هذا المثال، أظهرنا ما إذا كانت الرسوم البيانية التالية هي التماثل.
حل: لهذا، سوف نتحقق من جميع الشروط الأربعة للتماثل البياني، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
الحالة 1:
- في الرسم البياني 1، هناك إجمالي 4 عدد من القمم، أي G1 = 4.
- في الرسم البياني 2، هناك إجمالي 4 عدد من القمم، أي G2 = 4.
- في الرسم البياني 3، هناك إجمالي 4 عدد من القمم، أي G3 = 4.
هنا،
هناك عدد متساو من القمم في جميع الرسوم البيانية G1 وG2 وG3. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 1. الآن سوف نتحقق من الشرط الثاني.
دي دي إل مقابل دي إم إل
الحالة 2:
- في الرسم البياني 1، يوجد إجمالي 5 حواف، أي G1 = 5.
- في الرسم البياني 2، يوجد إجمالي 5 حواف، أي G2 = 5.
- في الرسم البياني 3، يوجد إجمالي 4 حواف، أي G2 = 4.
هنا،
- يوجد عدد متساوٍ من الحواف في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. وبالتالي فإن هذه الرسوم البيانية تلبي الشرط 2.
- ولكن ليس هناك عدد متساو من الحواف في الرسوم البيانية (G1، G2) وG3. وبالتالي فإن الرسوم البيانية (G1، G2) وG3 لا تستوفي الشرط 2.
نظرًا لأن الرسوم البيانية (G1 وG2) وG3 تنتهك الشرط 2. لذا يمكننا القول أن هذه الرسوم البيانية ليست تماثلًا.
منحدر غير محدد
∴ الرسم البياني G3 ليس تماثلًا مع الرسم البياني G1 ولا مع الرسم البياني G2.
نظرًا لأن الرسوم البيانية، فإن G1 وG2 يحققان الشرط 2. لذلك يمكننا القول أن هذه الرسوم البيانية قد تكون متماثلة.
∴ قد يكون الرسمان البيانيان G1 وG2 متماثلين.
الآن سوف نتحقق من الشرط الثالث للرسوم البيانية G1 وG2.
الحالة 3:
- في الرسم البياني 1، درجة التسلسل s هي {2، 2، 3، 3}، أي G1 = {2، 2، 3، 3}.
- في الرسم البياني 2، درجة التسلسل s هي {2، 2، 3، 3}، أي G2 = {2، 2، 3، 3}.
هنا
يوجد عدد متساوٍ من تسلسلات الدرجات في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 3. الآن سوف نتحقق من الشرط الرابع.
الحالة 4:
يشكل الرسم البياني G1 دورة بطول 3 بمساعدة القمم {2، 3، 3}.
يشكل الرسم البياني G2 أيضًا دورة بطول 3 بمساعدة القمم {2، 3، 3}.
هنا،
يوضح أن كلا الرسمين البيانيين يحتويان على نفس الدورة لأن كلا الرسمين البيانيين G1 وG2 يشكلان دورة بطول 3 بمساعدة الرؤوس {2، 3، 3}. وبالتالي فإن هذه الرسوم البيانية تلبي الشرط 4.
هكذا،
- يستوفي الرسمان البيانيان G1 وG2 جميع الشروط الأربعة الضرورية المذكورة أعلاه.
- لذلك قد يكون G1 وG2 تشابهًا.
الآن سوف نتحقق من الشروط الكافية لإظهار أن الرسوم البيانية G1 و G2 متماثلة.
التحقق من الشروط الكافية
كما تعلمنا أنه إذا كانت الرسوم البيانية المكملة لكلا الرسمين البيانيين متماثلة، فمن المؤكد أن الرسمين البيانيين سيكونان متماثلين.
لذلك سوف نقوم برسم الرسوم البيانية التكميلية لG1 وG2، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
في الرسوم البيانية التكميلية أعلاه لـ G1 وG2، يمكننا أن نرى أن كلا الرسمين البيانيين متماثلان.
∴ الرسوم البيانية G1 وG2 متماثلة.
مثال 3:
في هذا المثال، أظهرنا ما إذا كانت الرسوم البيانية التالية هي التماثل.
قائمة الانتظار وقائمة الانتظار ذات الأولوية في جافا
حل: لهذا، سوف نتحقق من جميع الشروط الأربعة للتماثل البياني، والتي يتم وصفها على النحو التالي:
الحالة 1:
- في الرسم البياني 1، هناك إجمالي 8 عدد من القمم، أي G1 = 8.
- في الرسم البياني 2، هناك إجمالي 8 عدد من القمم، أي G2 = 8.
هنا،
يوجد عدد متساوٍ من القمم في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 1. الآن سوف نتحقق من الشرط الثاني.
الحالة 2:
سلسلة تحليل جافا إلى int
- في الرسم البياني 1، إجمالي عدد الحواف هو 10، أي G1 = 10.
- في الرسم البياني 2، إجمالي عدد الحواف هو 10، أي G2 = 10.
هنا،
يوجد عدد متساوٍ من الحواف في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 2. الآن سوف نتحقق من الشرط الثالث.
الحالة 3:
- في الرسم البياني 1، درجة التسلسل s هي {2، 2، 2، 2، 3، 3، 3، 3}، أي G1 = {2، 2، 2، 2، 3، 3، 3، 3} .
- في الرسم البياني 2، درجة التسلسل s هي {2، 2، 2، 2، 3، 3، 3، 3}، أي G2 = {2، 2، 2، 2، 3، 3، 3، 3} .
هنا
يوجد عدد متساوٍ من تسلسلات الدرجات في كلا الرسمين البيانيين G1 وG2. إذن هذه الرسوم البيانية تحقق الشرط 3. الآن سوف نتحقق من الشرط الرابع.
الحالة 4:
- يشكل الرسم البياني G1 دورة بطول 4 بمساعدة رؤوس الدرجة 3.
- لا يشكل الرسم البياني G2 دورة بطول 4 بمساعدة القمم لأن القمم ليست متجاورة.
هنا،
كلا الرسمين البيانيين G1 وG2 لا يشكلان نفس الدورة بنفس الطول. لذا فإن هذه الرسوم البيانية تنتهك الشرط 4.
نظرًا لأن الرسوم البيانية G1 وG2 تنتهك الشرط 4. لذا، نظرًا لانتهاك الشرط 4، لن تكون هذه الرسوم البيانية تماثلًا.
∴ الرسوم البيانية G1 وG2 ليستا متماثلتين.