حادة، منفرجة، متساوية الساقين، متساوية الأضلاع... عندما يتعلق الأمر بالمثلثات، هناك العديد من الأنواع المختلفة، ولكن فقط عدد قليل من الخيارات 'المميزة'. تحتوي هذه المثلثات الخاصة على جوانب وزوايا متسقة ويمكن التنبؤ بها ويمكن استخدامها لاختصار طريقك خلال المسائل الهندسية أو علم المثلثات. والمثلث 30-60-90 - يُنطق 'ثلاثون وستون وتسعون' - هو نوع خاص جدًا من المثلثات بالفعل.
في هذا الدليل، سنرشدك إلى معنى المثلث 30-60-90، ولماذا يعمل، ومتى (وكيف) تستخدم معرفتك به. بحيث يتيح الحصول عليه!
ما هو المثلث 30-60-90؟
المثلث 30-60-90 هو مثلث قائم الزاوية خاص (المثلث القائم هو أي مثلث يحتوي على زاوية 90 درجة) وله دائمًا زوايا درجات 30 درجة و60 درجة و90 درجة. ولأنه مثلث خاص، فإن قيم أطوال أضلاعه تكون دائمًا في علاقة ثابتة مع بعضها البعض.
نسبة المثلث الأساسية 30-60-90 هي:
الجانب المقابل للزاوية 30 درجة: $x$
الجانب المقابل للزاوية 60 درجة: $x * √3$
الجانب المقابل للزاوية 90 درجة: x$
على سبيل المثال، يمكن أن يكون للمثلث ذو الزوايا 30-60-90 درجة أطوال جانبية:
2، 2√3، 4
7، 7√3، 14
√3، 3، 2√3
الانزياح الأحمر أوس
(لماذا يكون الضلع الأطول 3؟ في هذا المثلث، الضلع الأقصر ($x$) هو $√3$، لذا بالنسبة للضلع الأطول، $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. الوتر هو ضعف أقصر ساق، أو √3$)
وما إلى ذلك وهلم جرا.
الجانب المقابل للزاوية 30 درجة هو دائمًا الأصغر لأن 30 درجة هي أصغر زاوية. الجانب المقابل للزاوية 60 درجة سيكون الطول الأوسط لأن 60 درجة هي الزاوية المتوسطة الحجم في هذا المثلث. وأخيرًا، الضلع المقابل للزاوية 90 درجة سيكون دائمًا هو الضلع الأكبر (الوتر). لأن 90 درجة هي الزاوية الأكبر.
على الرغم من أنه قد يبدو مشابهًا لأنواع أخرى من المثلثات القائمة، إلا أن السبب وراء كون المثلث 30-60-90 مميزًا للغاية هو أنك تحتاج فقط إلى ثلاث قطع من المعلومات للعثور على كل القياسات الأخرى. طالما أنك تعرف قيمة قياس زاويتين وطول ضلع واحد (لا يهم أي جانب)، فأنت تعرف كل ما تحتاج لمعرفته حول مثلثك.
على سبيل المثال، يمكننا استخدام صيغة المثلث 30-60-90 لملء جميع فراغات المعلومات المتبقية للمثلثات أدناه.
مثال 1
نلاحظ أن هذا مثلث قائم الزاوية، حيث يبلغ طول الوتر ضعف طول أحد الأرجل. هذا يعني أن هذا يجب أن يكون مثلثًا بأبعاد 30-60-90 والضلع الأصغر المعين هو المقابل لـ 30 درجة.
وبالتالي، يجب أن تكون الساق الأطول مقابلًا للزاوية 60 درجة وقياسها * √3$، أو √3$.
مثال 2
جمع جافا
يمكننا أن نرى أن هذا المثلث يجب أن يكون 30-60-90 لأننا يمكننا أن نرى أن هذا مثلث قائم الزاوية بقياس واحد محدد، وهو 30°. يجب أن تكون الزاوية غير المحددة 60 درجة.
بما أن 18 هو القياس المقابل للزاوية 60 درجة، فيجب أن يساوي $x√3$. يجب أن يبلغ قياس أقصر ساق 18 دولارًا/√3 دولارًا.
(لاحظ أن طول الساق سيكون في الواقع /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$ لأن المقام لا يمكن أن يحتوي على جذر جذري/تربيعي).
وسيكون الوتر (18/√3)$
(لاحظ أنه، مرة أخرى، لا يمكن أن يكون لديك جذر في المقام، وبالتالي فإن الإجابة النهائية ستكون ضعف طول ساق √3$ => √3$).
مثال 3
مرة أخرى، لدينا قياسان للزاوية (90 درجة و60 درجة)، وبالتالي فإن القياس الثالث سيكون 30 درجة. نظرًا لأن هذا مثلث بأبعاد 30-60-90 والوتر يساوي 30، فإن الضلع الأقصر يساوي 15 والضلع الأطول يساوي 15√3.
لا داعي للرجوع إلى الكرة السحرية الثمانية، فهذه القواعد تعمل دائمًا.
لماذا يعمل: 30-60-90 إثبات نظرية المثلث
ولكن لماذا يعمل هذا المثلث الخاص بهذه الطريقة؟ كيف نعرف أن هذه القواعد شرعية؟ دعونا نتعرف بالضبط على كيفية عمل نظرية المثلث 30-60-90 ونثبت سبب ثبات أطوال الأضلاع هذه دائمًا.
أولاً، دعونا ننسى المثلثات القائمة لثانية واحدة وننظر إلى مثلث متساوي الاضلاع.
المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث له جميع الجوانب متساوية وجميع الزوايا متساوية. لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يصل دائمًا إلى 180 درجة و180/3 = 60 دولارًا، سيكون للمثلث متساوي الأضلاع دائمًا ثلاث زوايا قياسها 60 درجة.
الآن دعونا ننزل الارتفاع من الزاوية العليا إلى قاعدة المثلث.
لقد فعلنا الآن خلق زاويتين قائمتين ومثلثين متطابقين (متساويين).
كيف نعرف أنهما مثلثان متساويان؟ لأننا أسقطنا ارتفاعًا من متساوي الاضلاع المثلث، لقد قسمنا القاعدة إلى نصفين بالضبط. تشترك المثلثات الجديدة أيضًا في طول ضلع واحد (الارتفاع)، ولكل منها نفس طول الوتر. لأنهما يشتركان في ثلاثة أطوال جانبية (SSS)، وهذا يعني المثلثان متطابقان.
ملحوظة: لا يتطابق المثلثان فقط بناءً على مبادئ أطوال ضلعي الضلع، أو SSS، ولكن أيضًا يعتمدان على مقاييس جانب الزاوية (SAS)، وزاوية الزاوية (AAS)، والزاوية- الزاوية الجانبية (ASA). أساسًا؟ إنهما متطابقان بالتأكيد.
الآن بعد أن أثبتنا تطابق المثلثين الجديدين، يمكننا أن نرى أن الزوايا العلوية يجب أن تكون مساوية لكل منها 30 درجة (لأن كل مثلث لديه بالفعل زوايا 90 درجة و60 درجة ويجب أن مجموعهما يصل إلى 180 درجة). هذا يعنى لقد صنعنا مثلثين 30-60-90.
ولأننا نعلم أننا قطعنا قاعدة المثلث متساوي الأضلاع إلى نصفين، يمكننا أن نرى أن الضلع المقابل للزاوية 30 درجة (أقصر ضلع) لكل مثلث من المثلثات 30-60-90 هو بالضبط نصف طول الوتر .
لذلك دعونا نسمي طول الضلع الأصلي $x$ وطولنا المنصف $x/2$.
الآن كل ما علينا فعله هو إيجاد طول الضلع الأوسط الذي يشترك فيه المثلثان. للقيام بذلك، يمكننا ببساطة استخدام نظرية فيثاغورس.
$أ^2 + ب^2 = ج^2$
$(س/2)^2 + ب^2 = س^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$ب = {√3x}/2$
np.linspace
إذن يتبقى لدينا: $x/2, {x√3}/2, x$
الآن دعونا نضرب كل قياس في 2، فقط لجعل الحياة أسهل وتجنب جميع الكسور. بهذه الطريقة يتبقى لنا:
$x$، $x√3$، x$
يمكننا أن نرى، بالتالي، أن المثلث 30-60-90 سيكون كذلك دائماً لها أطوال جانبية متسقة $x$ و$x√3$ وx$ (أو $x/2$ و${√3x}/2$ و$x$).
لحسن الحظ بالنسبة لنا، يمكننا إثبات صحة قواعد المثلث 30-60-90 دون كل هذا.
متى تستخدم قواعد المثلث 30-60-90
إن معرفة قواعد المثلث 30-60-90 ستكون قادرة على توفير الوقت والطاقة في العديد من المسائل الرياضية المختلفة، وبالتحديد مجموعة واسعة من مسائل الهندسة وعلم المثلثات.
الهندسة
إن الفهم الصحيح للمثلثات 30-60-90 سيسمح لك بحل المسائل الهندسية التي قد يكون من المستحيل حلها دون معرفة قواعد النسبة هذه، أو على الأقل، قد يستغرق حلها وقتًا وجهدًا كبيرين لحل 'الطريق الطويل'.
باستخدام نسب المثلثات الخاصة، يمكنك معرفة ارتفاعات المثلث أو أطوال الأرجل المفقودة (دون الحاجة إلى استخدام نظرية فيثاغورس)، والعثور على مساحة المثلث باستخدام معلومات الارتفاع أو طول القاعدة المفقودة، وحساب المحيطات بسرعة.
في أي وقت تحتاج فيه إلى السرعة للإجابة على سؤال، سيكون تذكر الاختصارات مثل قواعد 30-60-90 مفيدًا.
علم المثلثات
إن حفظ وفهم نسبة المثلثات 30-60-90 سيسمح لك أيضًا بحل العديد من مسائل علم المثلثات دون الحاجة إلى آلة حاسبة أو الحاجة إلى تقريب إجاباتك في شكل عشري.
يحتوي المثلث 30-60-90 على جيب التمام وجيب التمام والظل البسيط لكل زاوية (وسوف تكون هذه القياسات متسقة دائمًا).
جيب الزاوية 30° سيكون دائمًا 1/2$.
سلاسل متسلسلة
جيب التمام 60 درجة سيكون دائمًا 1/2 دولار.
على الرغم من أن الجيوب وجيب التمام والظلات الأخرى بسيطة إلى حد ما، إلا أن هاتين هما الأسهل في الحفظ ومن المرجح أن تظهرا في الاختبارات. لذا فإن معرفة هذه القواعد ستسمح لك بالعثور على قياسات علم المثلثات هذه في أسرع وقت ممكن.
نصائح لتذكر قواعد 30-60-90
أنت تعلم أن قواعد النسبة 30-60-90 مفيدة، ولكن كيف يمكنك الاحتفاظ بالمعلومات في رأسك؟ إن تذكر قواعد المثلث 30-60-90 هو مسألة تذكر النسبة 1: √3: 2، ومعرفة أن طول الضلع الأقصر يكون دائمًا مقابلًا لأقصر زاوية (30 درجة) وأن طول الضلع الأطول هو دائمًا مقابل للزاوية. أكبر زاوية (90 درجة).
بعض الناس يحفظون النسبة عن طريق التفكير، $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, 'لأن الخلافة' 1، 2، 3 'عادةً ما تكون سهلة التذكر. الاحتياط الوحيد لاستخدام هذه التقنية هو أن تتذكر أن الجانب الأطول هو في الواقع x$، لا $x$ ضرب $√3$.
هناك طريقة أخرى لتذكر النسب الخاصة بك وهي استخدم التلاعب بالألفاظ التذكيرية بنسبة 1: جذر 3: 2 بترتيبها الصحيح. على سبيل المثال، 'قام جاكي ميتشل بضرب لو جيريج و'فاز روثي أيضًا': واحد، جذر ثلاثة، اثنان. (إنها حقيقة حقيقية في تاريخ لعبة البيسبول!)
استخدم أدوات التذكر الخاصة بك إذا لم تعجبك - قم بغناء النسبة إلى أغنية، أو ابحث عن عبارة 'واحد، جذر ثلاثة، اثنين'، أو قم بتأليف قصيدة النسبة. يمكنك أيضًا أن تتذكر أن المثلث 30-60-90 هو نصف متساوي الأضلاع ومعرفة القياسات من هناك إذا كنت لا تحب حفظها.
ومع ذلك، فمن المنطقي بالنسبة لك أن تتذكر قواعد 30-60-90، واحتفظ بهذه النسب في ذهنك لأسئلتك المستقبلية في الهندسة وعلم المثلثات.
الحفظ هو صديقك، ولكن يمكنك تحقيق ذلك.
مثال 30-60-90 سؤال
الآن بعد أن نظرنا إلى كيفية وأسباب المثلثات 30-60-90، دعونا نحل بعض المسائل التدريبية.
الهندسة
عامل بناء يميل سلمًا طوله 40 قدمًا على جانب المبنى بزاوية 30 درجة عن الأرض. الأرض مستوية وجانب المبنى متعامد مع الأرض. إلى أي مدى يصل السلم إلى أعلى المبنى، إلى أقرب قدم؟
بدون معرفة قواعد المثلثات الخاصة 30-60-90، سيتعين علينا استخدام علم المثلثات والآلة الحاسبة لإيجاد حل لهذه المشكلة، نظرًا لأن لدينا فقط قياس ضلع واحد للمثلث. ولكن لأننا نعلم أن هذا هو خاص مثلث، يمكننا العثور على الجواب في ثوان معدودة.
إذا كان المبنى والأرض متعامدين مع بعضهما البعض، فهذا يعني أن المبنى والأرض يشكلان زاوية قائمة (90 درجة). ومن المسلم به أيضًا أن السلم يلتقي بالأرض بزاوية 30 درجة. يمكننا إذن أن نلاحظ أن قياس الزاوية المتبقية لا بد أن يكون 60 درجة، مما يجعل هذا المثلث 30-60-90.
الآن نحن نعلم أن الوتر (الضلع الأطول) للضلع 30-60-90 هو 40 قدمًا، مما يعني أن أقصر ضلع سيكون نصف هذا الطول. (تذكر أن الضلع الأطول يكون دائمًا ضعف طول الضلع الأقصر — x$ — لأن الضلع الأقصر يكون مقابلًا للزاوية التي قياسها 30 درجة، وهذه الزاوية هي قياس درجة السلم من الأرض، فهذا يعني أن يضرب الجزء العلوي من السلم المبنى على ارتفاع 20 قدمًا عن الأرض.
ملف .tif
الإجابة النهائية هي 20 قدمًا.
علم المثلثات
إذا كان في المثلث القائم الزاوية sin Θ = /2$ وأقصر طول للضلع هو 8. ما طول الضلع المفقود الذي ليس الوتر؟
نظرًا لأنك تعرف قواعد 30-60-90، فيمكنك حل هذه المشكلة دون الحاجة إلى نظرية فيثاغورس أو الآلة الحاسبة.
قيل لنا أن هذا مثلث قائم الزاوية، ونحن نعرف من قواعد المثلث القائم الزاوية الخاصة أن جيب الزاوية 30° = /2$. وبالتالي، يجب أن تكون الزاوية المفقودة 60 درجة، مما يجعل هذا المثلث 30-60-90.
ولأن هذا مثلث 30-60-90، وقد قيل لنا أن أقصر ضلع فيه هو 8، فإن الوتر يجب أن يكون 16 والضلع المفقود يجب أن يكون * √3$، أو √3$.
إجابتنا النهائية هي 8√3.
الوجبات السريعة
تذكر قواعد المثلثات 30-60-90 سوف تساعدك على اختصار طريقك من خلال مجموعة متنوعة من المسائل الرياضية . لكن ضع في اعتبارك أنه على الرغم من أن معرفة هذه القواعد هي أداة سهلة الاستخدام، إلا أنه لا يزال بإمكانك حل معظم المشكلات بدونها.
تابع قواعد $x$ و$x√3$ وx$ و30-60-90 بأي طريقة تناسبك وحاول إبقائها مستقيمة إذا استطعت، ولكن لا داعي للذعر إذا كان عقلك الفراغات عندما يحين وقت الأزمة. وفي كلتا الحالتين، كنت قد حصلت على هذا.
وإذا كنت بحاجة إلى مزيد من التدريب، تابع وتحقق من هذا اختبار المثلث 30-60-90 . إجراء اختبار سعيد!