هل ستأخذ اختبار SAT أو ACT وتريد التأكد من أنك تعرف كيفية التعامل مع مجموعات البيانات؟ أو ربما تتطلع إلى تحديث ذاكرتك لحضور دروس الرياضيات في المدرسة الثانوية أو الكلية. مهما كانت الحالة، من المهم أن تعرف كيفية العثور على متوسط مجموعة البيانات.
سنشرح كيفية استخدام المتوسط في الرياضيات، وكيفية حساب المتوسط، وما هي المشكلات المتعلقة بالمتوسط.
نوع كومة
ما هو المتوسط وما هو استخدامه؟
المتوسط، أو المتوسط الحسابي، هو متوسط قيمة مجموعة من الأرقام. وبشكل أكثر تحديدًا، فهو مقياس للاتجاه 'المركزي' أو النموذجي في مجموعة معينة من البيانات.
يقصد—غالبًا ما يطلق عليه ببساطة 'المتوسط' -هو مصطلح يستخدم في الإحصاء وتحليل البيانات. بالإضافة إلى ذلك، ليس من غير المعتاد سماع الكلمات 'يعني' أو 'متوسط' المستخدمة مع مصطلحات 'الوضع' و'الوسيط' و'النطاق'، وهي طرق أخرى لحساب الأنماط والقيم المشتركة في مجموعات البيانات.
وإليكم باختصار تعريفات هذه المصطلحات:
- عشرين
- 25
- 26
- 27
- 30
- $م = 17$
- $م> 17$
- مليون دولار<17$
- 15 دولارًا
- سؤال التدريب 1: 31
- سؤال التدريب 2: 3
- سؤال التدريب 3: ج 26
- سؤال التدريب 4: د.15 دولارًا
- عشرين
- 25
- 26
- 27
- 30
- الوضع هو 15
- المتوسط هو 25
- $م = 17$
- $م> 17$
- مليون دولار<17$
- 15 دولارًا
إذن ما هو الغرض من الوسيلة بالضبط؟ إذا كان لديك مجموعة بيانات تحتوي على نطاق واسع من الأرقام، معرفة يعني يمكن تعطيك فكرة عامة عن كيفية تجميع هذه الأرقام معًا في قيمة تمثيلية واحدة.
على سبيل المثال، إذا كنت طالبًا في المدرسة الثانوية وتستعد لإجراء اختبار SAT، فقد تكون مهتمًا بمعرفة ذلك متوسط درجة SAT الحالية . تمنحك معرفة متوسط الدرجات فكرة تقريبية عن كيفية حصول معظم الطلاب الذين يجرون اختبار SAT على تسجيل الدرجات فيه.
كيفية العثور على المتوسط: نظرة عامة
للعثور على الوسط الحسابي لمجموعة بيانات، كل ما عليك فعله هو اجمع كل الأرقام الموجودة في مجموعة البيانات ثم اقسم المجموع على إجمالي عدد القيم.
لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أنك حصلت على مجموعة البيانات التالية:
, 10, 3, 27, 19, 2, 5, 14$$
للعثور على المتوسط، ستحتاج أولاً إلى جمع جميع القيم في مجموعة البيانات مثل هذا:
+ 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14$$
لاحظ أن لا تحتاج إلى إعادة ترتيب القيم هنا (على الرغم من أنه يمكنك ذلك إذا كنت ترغب في ذلك) ويمكنك ببساطة إضافتها بالترتيب الذي تم تقديمها به لك.
بعد ذلك، اكتب مجموع كل القيم:
$ + 10 + 3 + 27 + 19 + 2 + 5 + 14 = o86$$
الخطوة الأخيرة هي أخذ هذا المجموع (86) وتقسيمه على عدد القيم في مجموعة البيانات. نظرًا لوجود ثماني قيم مختلفة (6، 10، 3، 27، 19، 2، 5، 14)، فسنقسم 86 على 8:
86 دولارًا أمريكيًا / 8 = 10.75 دولارًا أمريكيًا
المتوسط أو المتوسط لمجموعة البيانات هذه هو 10.75.
كيفية حساب المتوسط: أسئلة الممارسة
الآن بعد أن عرفت كيفية العثور على المتوسط-بعبارة أخرى،كيفية حساب متوسط مجموعة معينة من البيانات-أناحان الوقت لاختبار ما تعلمته. في هذا القسم، سنطرح عليك أربعة أسئلة رياضية تتضمن إيجاد المتوسط أو استخدامه.
السؤالان الأولان يخصاننا، بينما أما السؤالان الثانيان فهما أسئلة SAT/ACT الرسمية؛ على هذا النحو، سيتطلب هذان الأمران المزيد من التفكير.
قم بالتمرير فوق الأسئلة للحصول على الإجابات وتفسيرات الإجابة.
سؤال التدريب 1
أوجد متوسط مجموعة الأرقام التالية: 5، 26، 9، 14، 49، 31، 109، 5.
سؤال التدريب 2
لقد حصلت على قائمة الأرقام التالية: 4، 4، 2، 11، 6، $X$، 1، 3، 2. الوسط الحسابي هو 4. ما قيمة $X$؟
سؤال التدريب 3
قائمة الأرقام 41، 35، 30، $X$،$Y$، 15 بها متوسط 25. طريقة قائمة الأرقام هي 15. ما هو متوسط القائمة لأقرب رقم صحيح؟
المصدر: اختبار ACT الرسمي لعام 2018-19
سؤال التدريب 4
في محمية الرئيسيات، يبلغ متوسط عمر جميع الرئيسيات الذكور 15 عامًا، ومتوسط عمر جميع الإناث الرئيسيات هو 19 عامًا. أي مما يلي يجب أن يكون صحيحًا فيما يتعلق بمتوسط العمر $m$ للمجموعة المشتركة من الرئيسيات الذكور والإناث في محمية الرئيسيات؟
مصدر: مجلس الكلية
كيفية العثور على المتوسط: الإجابات + التفسيرات
بمجرد تجربة الأسئلة التدريبية الأربعة المذكورة أعلاه، فقد حان الوقت لمقارنة إجاباتك ومعرفة ما إذا كنت لا تفهم فقط كيفية العثور على متوسط البيانات ولكن أيضًا كيفية استخدام ما تعرفه عن المتوسط للتعامل بشكل أكثر فعالية مع أي أسئلة رياضية التي تتعامل مع المتوسطات.
فيما يلي إجابات الأسئلة التدريبية الأربعة أعلاه:
استمر في القراءة لترى شرح الإجابة لكل سؤال.
السؤال التدريبي 1 شرح الإجابة
أوجد متوسط مجموعة الأرقام التالية: 5، 26، 9، 14، 49، 31، 109، 5.
هذا سؤال مباشر يطلب منك ببساطة حساب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات معينة.
أولاً، أضف جميع الأرقام في مجموعة البيانات (تذكر أنك لا تحتاج إلى ترتيبها من الأدنى إلى الأعلى—افعل ذلك فقط إذا كنت تحاول العثور على الوسيط):
$ + 26 + 9 + 14 + 49 + 31 + 109 + 5 = o248$$
بعد ذلك، خذ هذا المبلغ و قسّمها على عدد القيم في مجموعة البيانات. يوجد هنا ثماني قيم إجمالية، لذا سنقسم 248 على 8:
8 / 8 = 31$$
الجواب المتوسط والصحيح هو 31.
السؤال التدريبي 2 شرح الإجابة
لقد حصلت على قائمة الأرقام التالية: 4، 4، 2، 11، 6، $X$، 1، 3، 2. الوسط الحسابي هو 4. ما قيمة $X$؟
جافا العدد الأولي
لهذا السؤال، أنت تعمل بشكل أساسي إلى الخلف: أنت تعرف المتوسط بالفعل ويجب عليك الآن استخدام هذه المعرفة لمساعدتك في إيجاد القيمة المفقودة، $X$، في مجموعة البيانات.
تذكر أنه للعثور على المتوسط، عليك جمع كل الأرقام في المجموعة ثم قسمة المجموع على إجمالي عدد القيم.
وبما أننا نعلم أن المتوسط هو 4، فسنبدأ بضرب 4 في عدد القيم (هناك تسعة أرقام منفصلة هنا، بما في ذلك $X$):
$ * 9 = 36$$
وهذا يعطينا مجموع مجموعة البيانات (36). الآن، يصبح السؤال مسألة جبرية، حيث كل ما يتعين علينا القيام به هو التبسيط وحل $X$:
$ + 4 + 2 + 11 + 6 + X + 1 + 3 + 2 = 36$$
+ X = 36$$
$$X = 3$$
الجواب الصحيح هو 3.
مع التدريب يأتي الإتقان!
السؤال التدريبي 3 شرح الإجابة
قائمة الأرقام 41، 35، 30، $X$، $Y$، 15 بها متوسط 25. طريقة قائمة الأرقام هي 15. ما متوسط القائمة لأقرب رقم صحيح؟تأتي هذه المسألة الرياضية الصعبة المظهر من اختبار تدريبي رسمي لـ ACT، لذا يمكنك أن تتوقع أن تكون أقل مباشرة من مسألة المتوسط الحسابي النموذجية.
لدينا هنا مجموعة بيانات بقيمتين غير معروفتين:
41، 35، 30، $X$، $Y$، 15
لقد حصلنا أيضًا على معلومتين مهمتين:
لإيجاد الوسط الحسابي لمجموعة البيانات هذه، علينا استخدام جميع المعلومات المعطاة لنا وسنستخدمها أيضًا بحاجة إلى معرفة ما هو الوضع والوسيط.
للتذكير، الوضع هو القيمة التي تظهر بشكل متكرر في مجموعة البيانات، في حين أن الوسيط هو القيمة الوسطى في مجموعة البيانات (عندما يتم ترتيب كافة القيم من الأدنى إلى الأعلى).
وبما أن الوضع هو 15، فهذا يعني ذلك تظهر القيمة 15 مرتين على الأقل في مجموعة البيانات (بمعنى آخر، تظهر مرات أكثر من أي قيمة أخرى). ونتيجة لذلك، يمكننا أن نقول استبدال إما $X$ أو $Y$ بـ 15:
41, 35, 30, $X$,15,15
قيل لنا أيضًا أن الوسيط هو 25. للعثور على الوسيط، يجب عليك أولًا إعادة ترتيب مجموعة البيانات من القيمة الأدنى إلى القيمة الأعلى.
CSS النص الغامق
وبما أن الوسيط أكبر من 15 وأقل من 30، يجب أن نضع $X$ بين هاتين القيمتين. إليك ما نحصل عليه عندما نعيد ترتيب قيمنا من الأدنى إلى الأعلى:
15، 15، $X$، 30، 35، 41
هناك ست قيم إجمالاً، (بما في ذلك $X$) مما يعني ذلك الوسيط سيكون الرقم بالضبط في منتصف المسافة بين القيمتين الثالثة والرابعة في مجموعة البيانات. باختصار، 25 (الوسيط) يجب أن يقع في منتصف المسافة بين $X$ و30.
هذا يعني أن $X$ يجب أن يساوي 20، لأن ذلك سيجعله على بعد 5 من 20 و5 من 30 (أو في منتصف المسافة بين القيمتين).
لدينا الآن مجموعة بيانات كاملة بدون قيم غير معروفة:
15،15، 20، 30، 35، 41
الصناعة والمصنع
كل ما علينا فعله الآن هو استخدام هذه القيم لإيجاد الوسط الحسابي. ابدأ بإضافتها جميعًا:
15+15+20+30+35+41=156
أخيرًا، قم بتقسيم المجموع على عدد القيم في مجموعة البيانات (أي ستة):
١٥٦/٦=٢٦
الجواب الصحيح هو ج 26
السؤال التدريبي 4 شرح الإجابة
في محمية الرئيسيات، يبلغ متوسط عمر جميع الرئيسيات الذكور 15 عامًا، ومتوسط عمر جميع الإناث الرئيسيات هو 19 عامًا. أي مما يلي يجب أن يكون صحيحًا فيما يتعلق بمتوسط العمر $m$ للمجموعة المشتركة من الرئيسيات الذكور والإناث في محمية الرئيسيات؟
مشكلة الممارسة هذه هي سؤال تدريبي رسمي لـ SAT Math من موقع College Board .
في هذا السؤال الرياضي، ليس من المتوقع منك إيجاد الوسط الحسابي، ولكن يجب عليك بدلًا من ذلك استخدام ما تعرفه عن الوسيلتين لشرح الوسط الحسابي للمجموعة الأكبر. على وجه التحديد، يتم سؤالنا كيف يمكننا استخدام هاتين الوسيلتين للتعبير، من الناحية الجبرية، عن متوسط العمر ( $i م$ ) ل كلاهما الرئيسيات من الذكور والإناث.
وإليك ما نعرفه: أولاً، متوسط عمر جميع الرئيسيات الذكور هو 15 عامًا. ثانيًا، متوسط عمر جميع إناث الرئيسيات هو 19 عامًا. وهذا يعني أن الرئيسيات الإناث بشكل عام هي كذلك اكبر سنا من الرئيسيات الذكور.
وبما أن متوسط عمر ذكور الرئيسيات (15) أقل من متوسط عمر إناث الرئيسيات (19)، فإننا نعلم ذلك ولا يمكن منطقياً أن يتجاوز متوسط العمر لكلتا المجموعتين 19 عاماً.
وبالمثل، نظرًا لأن متوسط عمر إناث الرئيسيات أكبر من متوسط عمر ذكور الرئيسيات، فإننا نعلم ذلك ولا يمكن منطقيًا أن يقل متوسط العمر لكليهما عن 15 عامًا.
لذلك، يتبقى لنا أن نفهم أن متوسط عمر الرئيسيات الذكور والإناث معًا يجب أن يكون أكبر أقل من 15 عامًا (متوسط عمر الذكور) ولكن أيضًا أقل من 19 سنة (متوسط عمر الإناث).
يمكن كتابة هذا الأساس المنطقي على النحو التالي عدم المساواة:
15 دولارًا أمريكيًا الجواب الصحيح هو د.15< $i م$ <19. لمعرفة المزيد حول مجموعات البيانات، انظر إلى دليلنا لأفضل الاستراتيجيات للمتوسط والوسيط والوضع في SAT Math. هل ستأخذ اختبار SAT أو ACT قريبًا؟ إذًا سترغب بالتأكيد في معرفة نوع الرياضيات الذي ستختبر فيه. الدفع أدلتنا المتعمقة لقسم الرياضيات في اختبار SAT وقسم ACT Math للبدء. ما هي أهم الصيغ الرياضية التي يجب معرفتها لاختبار SAT وACT؟ الحصول على لمحة عامة عن صيغ SAT الـ 28 الحاسمة و صيغ ACT الحرجة الـ 31 يجب ان تعرف.ماذا بعد؟