قبل مناقشة معيار روث-هرويتز، سنقوم أولاً بدراسة النظام المستقر وغير المستقر والمستقر بشكل هامشي.

نظام مستقر: إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة تقع على غادر نصف المستوى 'S'، ويقال إن النظام نظام مستقر.نظام مستقر هامشيا: إذا كانت جميع جذور النظام تقع على المحور التخيلي للمستوى 'S'، يقال أن النظام مستقر هامشيًا.نظام غير مستقر: إذا كانت جميع جذور النظام تقع على يمين نصف المستوى 'S'، ويقال إن النظام نظام غير مستقر.

بيان معيار روث هورويتز

ينص معيار روث هورويتز على أن أي نظام يمكن أن يكون مستقرًا إذا وفقط إذا كانت جميع جذور العمود الأول لها نفس الإشارة وإذا لم يكن لها نفس الإشارة أو كانت هناك علامة تتغير، فإن عدد الإشارات يتغير في العمود الأول يساوي عدد جذور المعادلة المميزة في النصف الأيمن من المستوى s، أي يساوي عدد الجذور ذات الأجزاء الحقيقية الموجبة.

شروط ضرورية ولكنها ليست كافية لتحقيق الاستقرار

يجب أن نتبع بعض الشروط لجعل أي نظام مستقراً، أو يمكننا القول أن هناك بعض الشروط الضرورية لجعل النظام مستقراً.

تحليل السلسلة إلى int

النظر في نظام مع المعادلة المميزة:

1. يجب أن يكون لجميع معاملات المعادلة نفس الإشارة.
2. لا ينبغي أن يكون هناك مصطلح مفقود.

إذا كانت جميع المعاملات لها نفس الإشارة ولم تكن هناك حدود مفقودة، فليس لدينا أي ضمان بأن النظام سيكون مستقرًا. لهذا نستخدم معيار روث هورويتز للتحقق من استقرار النظام. إذا لم يتم استيفاء الشروط المذكورة أعلاه، يقال أن النظام غير مستقر. تم تقديم هذا المعيار بواسطة A. Hurwitz و E.J. روث.

أمر تشغيل لينكس

مزايا معيار روث هورويتز

1. يمكننا إيجاد استقرار النظام دون حل المعادلة.
2. يمكننا بسهولة تحديد الاستقرار النسبي للنظام.
3. بهذه الطريقة، يمكننا تحديد نطاق K للاستقرار.
4. وبهذه الطريقة يمكننا أيضًا تحديد نقطة تقاطع موضع الجذر مع المحور الوهمي.

حدود معيار روث هورويتز

1. ينطبق هذا المعيار فقط على النظام الخطي.
2. ولا توفر الموقع الدقيق للأعمدة الموجودة على النصف الأيمن والأيسر من المستوى S.
3. في حالة المعادلة المميزة، فهي صالحة فقط للمعاملات الحقيقية.

معيار روث-هرويتز

خذ بعين الاعتبار خاصية متعددة الحدود التالية

عندما تكون المعاملات a0، a1، .......................... an كلها نفس العلامة، ولا شيء يساوي صفرًا.

الخطوة 1 : رتب جميع معاملات المعادلة أعلاه في صفين:

الخطوة 2 : من هذين الصفين سنشكل الصف الثالث:

الخطوه 3 : الآن نشكل الصف الرابع باستخدام الصف الثاني والثالث:

الخطوة 4 : سنواصل هذا الإجراء لتشكيل صفوف جديدة:

العودية في جافا

مثال

التحقق من استقرار النظام الذي يتم إعطاء معادلته المميزة بواسطة

s<sup>4</sup> + 2s<sup>3</sup>+6s<sup>2</sup>+4s+1 = 0 

حل

الحصول على سهم المعاملات على النحو التالي

بما أن جميع المعاملات في العمود الأول لها نفس الإشارة، أي موجبة، فإن المعادلة المعطاة ليس لها جذور ذات أجزاء حقيقية موجبة؛ ولذلك يقال أن النظام مستقر.