في هذه المقالة، سنناقش الفرق المتماثل بين مجموعتين. سنناقش هنا أيضًا خصائص الفرق المتماثل بين مجموعتين.

نأمل أن تكون هذه المقالة مفيدة لك لفهم الفرق المتماثل بين مجموعتين.

ما هو الفرق المتماثل؟

البديل الآخر للاختلاف هو الفرق المتماثل. لنفترض أن هناك مجموعتين، A وB. الفرق المتماثل بين المجموعتين A وB هو المجموعة التي تحتوي على العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين باستثناء العناصر المشتركة.

ويسمى الفرق المتماثل بين مجموعتين أيضًا باسم الاتحاد الانفصالي . الفرق المتماثل بين مجموعتين هو مجموعة من العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين ولكن ليس في تقاطعهما. يتم تمثيل الفرق المتماثل بين المجموعتين A و B بواسطة أ د ب أو أ ؟ ب .

يمكننا أن نفهم ذلك من خلال الأمثلة.

مثال 1 لنفترض أن هناك مجموعتين مع بعض العناصر.

المجموعة أ = {1، 2، 3، 4، 5}

المجموعة ب = {3، 5}

إذن، الفرق المتماثل بين المجموعتين A وB هو {1، 2، 4}

أو يمكننا أن نقول ذلك أ Δ ب = {1، 2، 4} .

مثال2 لنفترض أن هناك مجموعتين مع بعض العناصر.

المجموعة أ = {أ، ب، ج، ك، م، ن}

المجموعة ب = {ج، ن}

إذن، الفرق المتماثل بين المجموعتين المعطاتين A وB هو {a, b, k, m}

أو يمكننا أن نقول ذلك أ Δ ب = {أ، ب، ك، م} .

في مخطط فين أدناه، يمكنك رؤية الفرق المتماثل بين المجموعتين.

الجزء المظلل بلون البشرة في مخطط فين أعلاه هو الفرق المتماثل بين المجموعات المعطاة، أي: أ د ب .

دعونا نرى بعض خصائص الفرق المتماثل بين مجموعتين.

ملكيات

هناك بعض خصائص الفرق المتماثل التي تم سردها على النحو التالي:

• يمكن تمثيل الفرق المتماثل باتحاد كلا المكملين النسبيين، أي:
  أ Δ ب = (أ / ب) ∪ (ب / أ)
• يمكن أيضًا التعبير عن الفرق المتماثل بين مجموعتين باتحاد مجموعتين مطروحًا منه التقاطع بينهما -
  أ Δ ب = (أ ∪ ب) - (أ ∩ ب)
• الفرق المتماثل هو تبادلي وكذلك ترابطي -
  أ Δ ب = ب Δ أ
  (أ Δ ب) Δ ج = أ Δ (ب Δ ج)
• المجموعة الفارغة محايدة (في الرياضيات، يُقال إن العنصر المحايد هو نوع خاص من العناصر، والذي عند دمجه مع أي عنصر في المجموعة لإجراء عملية ثنائية، يترك العنصر دون تغيير. ويُعرف أيضًا باسم المجموعة الفارغة عنصر الهوية ).
  أ Δ ∅ = أ
  أ Δ أ = ∅
• إذا كانت المجموعة A تساوي المجموعة B، فإن الفرق المتماثل بين المجموعتين هو -
  أ Δ ب = ∅ {عندما أ = ب}

'الفرق المتماثل بين مجموعتين' v/s 'الفرق بين مجموعتين'

الفرق بين مجموعتين

الفرق بين المجموعتين A وB هو مجموعة من كل تلك العناصر التي تنتمي إلى A ولكنها لا تنتمي إلى B ويشار إليها بـ أ - ب .

مثال: دع أ = {1، 2، 3، 4}

و ب = {3، 4، 5، 6}

ثم أ - ب = {3، 4} و ب - أ = {5، 6}

فرق متماثل بين مجموعتين

الفرق المتماثل بين المجموعتين A وB هو المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر الموجودة في A أو B ولكن ليس في كليهما. ويمثلها أ د ب أو أ ؟ ب .

مثال: دع أ = {1، 2، 3، 4}

و ب = {3، 4، 5، 6}

ثم أ Δ ب = {1، 2، 5، 6}

الآن، دعونا نرى بعض الأمثلة لفهم الفرق المتماثل بين مجموعتين بشكل أكثر وضوحا.

السؤال رقم 1 - لنفترض أن لديك المجموعتين A = {10، 15، 17، 19، 20} وB = {15، 16، 18}. أوجد الفرق بين المجموعتين A وB، واكتشف أيضًا الفرق المتماثل بينهما.

حل - منح،

خريطة التجزئة

أ = {10، 15، 17، 19، 20}

و ب = {15، 16، 18}

الفرق بين المجموعتين هو -

أ - ب = {10، 15، 17، 19، 20} - {15، 16، 18}

= {10، 17، 19، 20}

الفرق المتماثل بين المجموعتين هو -

أ Δ ب = {10، 15، 17، 19، 20} - {15، 16، 18}

= {10، 16، 17، 18، 19، 20}

السؤال 2 - لنفترض أن لديك المجموعتين A = {2، 4، 6، 8} وB = {2، 5، 7، 8}. أوجد الفرق المتماثل B Δ A. وارسم أيضًا مخطط Venn لتمثيل الفرق المتماثل بين المجموعتين المعطاتين.

حل - بالنظر إلى أن أ = {2، 4، 6، 8} و ب = {2، 5، 7، 8}

نحن نعلم أن B Δ A = (B ∪ A) - (B ∩ A)

دعونا نحاول حل السؤال خطوة بخطوة. إذن، الخطوة الأولى هي إيجاد اتحاد المجموعة A والمجموعة B.

وبالتالي، (ب ∪ أ) = {2، 5، 7، 8} ∪ {2، 4، 6، 8}

= {2، 4، 5، 6، 7، 8}

بعد ذلك، علينا حساب التقاطع بين المجموعتين.

(ب ∩ أ) = {2، 5، 7، 8} ∩ {2، 4، 6، 8}

= {2، 8}

الآن، علينا إيجاد الفرق بين اتحاد وتقاطع المجموعتين A وB، كما هو مذكور في الصيغة،

إذن، (ب ∪ أ) - (ب ∩ أ) = {2، 4، 5، 6، 7، 8} - {2، 8}

= {4، 5، 6، 7}

وبالتالي، ب Δ أ = {4، 5، 6، 7}

والتي ستكون مساوية لـ A Δ B، كما هو مذكور أعلاه، 'الفرق المتماثل تبادلي'. والآن، سوف نوضح الفرق المتماثل بين المجموعتين عبر مخطط فن.

في مخطط فين، سنرسم أولًا دائرتين تمثلان المجموعتين A وB. وكما حسبنا أعلاه، فإن التقاطع بين المجموعتين هو {2، 8}، لذلك قمنا بإدراج هذه العناصر في منطقة التقاطع. بعد ذلك، ندرج العناصر المتبقية في دوائر المجموعة الخاصة بها، أي {4، 6} في المجموعة A و{5، 7} في المجموعة B. بعد ترتيب العناصر، سيكون مخطط Venn -

عندما ننظر إلى مخطط Venn أعلاه، نجد أن هناك مجموعة عالمية U. كلتا المجموعتين A وB هما المجموعة الفرعية للمجموعة العالمية U. العناصر {2، 8} هي العناصر المتقاطعة، لذا يتم تمثيلها في منطقة التقاطع. المنطقة ذات اللون البرتقالي الفاتح هي اتحاد المجموعات باستثناء المنطقة المتقاطعة. هذه المنطقة هي الفرق المتماثل بين المجموعتين A وB، وسيتم تمثيلها على أنها -

ب Δ أ = (ب ∪ أ) - (ب ∩ أ) = {4، 5، 6، 7}

السؤال 3 - لنفترض أن لديك المجموعتين A = {5، 6، 8، 9، 10} وB = {2، 4، 7، 10، 19}.

أثبت أن الفرق المتماثل هو تبادلي باستخدام المجموعات المعطاة.

حل - بالنظر إلى أن أ = {5، 6، 8، 9، 10} و ب = {2، 7، 8، 9، 10}

لإثبات: أ Δ ب = ب Δ أ

خذ LHS،

أ Δ ب = (أ ∪ ب) - (أ ∩ ب)

(أ ∪ ب) = {5، 6، 8، 9، 10} ∪ (2، 7، 8، 9، 10}

= {2، 5، 6، 7، 8، 9، 10}

(أ ∩ ب) = {5، 6، 8، 9، 10} ∩ (2، 7، 8، 9، 10}

= {8، 9، 10}

إذن، أ Δ ب = {2، 5، 6، 7}

الآن، خذ RHS

ب Δ أ = (ب ∪ أ) - (ب ∩ أ)

(ب ∪ أ) = (2، 7، 8، 9، 10} ∪ {5، 6، 8، 9، 10}

= {2، 5، 6، 7، 8، 9، 10}

(ب ∩ أ) = (2، 7، 8، 9، 10} ∩ {5، 6، 8، 9، 10}

= {8، 9، 10}

إذًا، ب Δ أ = {2، 5، 6، 7}

ولذلك، أ Δ ب = ب Δ أ

ومن ثم، فإن الفرق المتماثل هو تبادلي.